Chiusura algebrica

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In matematica, in particolare in algebra, la chiusura algebrica di un campo è la più piccola estensione algebrica di che è algebricamente chiusa; in termini meno rigorosi, la chiusura algebrica di è quel campo che si ottiene "aggiungendo" a le radici di tutti i polinomi a coefficienti in .

Ogni campo ha una chiusura algebrica, e questa è unica a meno di isomorfismi: questo permette di parlare della chiusura algebrica di , invece che di una chiusura algebrica di .

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

  • Esistono molti campi algebricamente chiusi all'interno dei numeri complessi e contenenti strettamente il campo dei numeri algebrici. Tra questi, vi sono le chiusure algebriche delle estensioni trascendenti dei numeri razionali, ad esempio la chiusura algebrica di .

Esistenza ed unicità[modifica | modifica wikitesto]

Usando il lemma di Zorn, può essere mostrato che ogni campo ha una chiusura algebrica, e che la chiusura algebrica di un campo è unica a meno di isomorfismi che fissano ogni elemento di . Tuttavia, non esiste un isomorfismo "canonico" tra due chiusure algebriche: ad esempio, date due chiusure del campo con p elementi, esistono un numero infinito (e non numerabile) di isomorfismi di in .

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

La chiusura algebrica di può essere vista come la più grande estensione algebrica di , nel senso che ogni altra estensione algebrica di può essere immersa dentro (generalmente in modo non unico); ne segue anche che è anche la chiusura algebrica di .

La chiusura algebrica di un campo ha la stessa cardinalità di se è infinito, ed è numerabile se è finito.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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