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Teoremi di Sylow

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In algebra, i teoremi di Sylow sono dei risultati fondamentali della teoria dei gruppi finiti, che permettono la scomposizione di gruppi in sottogruppi il cui studio è più facile.

Essi affermano quanto segue. Sia un gruppo finito di ordine (ovvero costituito da elementi). Sia un numero primo. Allora per ogni potenza di che divida esistono sottogruppi di di ordine . Inoltre, se è la massima potenza di che divida , allora i sottogruppi di di ordine sono coniugati fra loro.

Questi teoremi sono stati dimostrati per la prima volta nel 1872 da Ludwig Sylow, e pubblicati sulla prestigiosa rivista Matematische Annalen.

Primo Teorema di Sylow[modifica | modifica wikitesto]

Enunciato[modifica | modifica wikitesto]

Sia un gruppo finito, e sia il suo ordine (ovvero il numero dei suoi elementi). Allora per ogni primo ed ogni intero tali che divida , esiste un sottogruppo di di ordine .

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

È sufficiente dimostrare il teorema per il più grande che divide . Quindi scriviamo , denotando con un intero positivo non divisibile per . Denotiamo allora con la collezione di tutti i sottoinsiemi di formati da elementi:

La cardinalità di non è divisibile per . Infatti è fornita dall'espressione

.

Essa fornisce un intero non divisibile per : infatti un divisore di potrebbe provenire solo da fattori del denominatore della forma con divisibile per ; per ciascuno di questi scriviamo , nella quale si intende che non sia divisibile per p; nella espressione precedente si può quindi isolare il fattore

il quale non è in grado di fornire a un fattore razionale contenente una potenza positiva di ; si conclude che è possibile semplificare il numeratore e il denominatore della precedente espressione per , in modo da ottenere una espressione che deve fornire un intero positivo il quale non è divisibile per .

Definiamo un'azione di su :

Sia l'orbita di tramite l'azione. Esiste sicuramente un la cui orbita ha cardinalità non divisibile per (poiché le orbite formano una partizione di , e non è multiplo di ).

Sia lo stabilizzatore di . Applicando il teorema delle azioni si ottiene:

Il numero divide , ma non divide : allora divide . Ne segue che

D'altra parte, fissato un elemento in , l'applicazione

è iniettiva. Quindi vale anche

Ne segue che è un sottogruppo di cardinalità .

Secondo Teorema di Sylow[modifica | modifica wikitesto]

Per enunciare il secondo teorema di Sylow, è utile definire i cosiddetti p-Sylow.

Definizione di p-sottogruppo di Sylow[modifica | modifica wikitesto]

Sia un gruppo finito, e sia un numero primo che divida l'ordine di . Sia , con non divisibile per . (Dunque è la massima potenza di che divide l'ordine di .) Si definisce -sottogruppo di Sylow (o semplicemente -Sylow) di ogni sottogruppo di di ordine .

Enunciato[modifica | modifica wikitesto]

Sia un gruppo, e sia , con ed coprimi. Allora, tutti i p-Sylow di sono coniugati, ovvero, detto Sylp(G) l'insieme dei p-Sylow di ,

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Chiamiamo (per agilità di notazioni) A:=Sylp(G). Per mostrare che tutti i p-Sylow di sono coniugati, basta mostrare che l'azione per coniugio sull'insieme è transitiva, ovvero ha una sola orbita.

Procediamo per assurdo. Siano D1 e D2 due orbite distinte, e siano P un elemento di D1, Q un elemento di D2 e x un elemento di Q. Osserviamo che il coniugio di P tramite x, che indichiamo con , è un elemento di D1. Dunque possiamo restringere l'azione a D1:

Questa azione ha un numero r di orbite, che indichiamo con O(Pi), al variare di Pi in D1. Per l'equazione delle orbite, segue dunque che

dove l'ultima uguaglianza è giustificata dal fatto che in un'azione per coniugio lo stabilizzatore dell'elemento Pi è proprio il normalizzante in di Pi. Poiché gli stabilizzatori sono sottogruppi di e poiché è un p-Sylow, ogni orbita ha ordine o o una potenza propria di (è un'immediata conseguenza del teorema di Lagrange). Allo stesso tempo, poiché P appartiene a D1, possiamo dire che D1 è l'orbita di nella prima azione che abbiamo definito. Dunque, . Per il teorema di Lagrange, . Dunque, ne segue che . Dunque, è un divisore di m e pertanto non è diviso da p. Dunque anche non è diviso da p, quindi gli addendi che compaiono nella sommatoria scritta precedentemente non possono essere tutti potenze di p (poiché altrimenti sarebbero divisibili per p). Da ciò segue che esiste almeno un j tale che . Questo significa che , e quindi che . Il che implica che , poiché . Dunque, e il suo ordine vale:

.

Il numeratore vale poiché entrambi appartengono ad A; al denominatore troviamo invece una potenza di p, con esponente strettamente minore di k, in quanto e . Ovviamente il denominatore non può valere pk, poiché se così fosse risulterebbe , ma questo non è possibile perché appartengono a due orbite che per ipotesi avevamo supposto distinte. Dunque, , con . Ma questo è un assurdo, poiché . Dunque l'ipotesi che D1 e D2 fossero distinte è falsa, e l'azione è transitiva.

Terzo Teorema di Sylow[modifica | modifica wikitesto]

Il terzo teorema di Sylow fornisce importanti informazioni sul numero dei p-Sylow di un gruppo, utilizzando i concetti di divisibilità e di congruenza.

Enunciato[modifica | modifica wikitesto]

Sia G un gruppo, e sia |G|=pkm, con p ed m coprimi. Allora, detto np il numero dei p-Sylow di G, risulta:

  • np | m
  • np ≡ 1 mod p

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Detto A:=Sylp(G), ovviamente np = |A|. Considerando PA, per il secondo teorema di Sylow risulta che |A|=|O(P)|, considerando l'azione per coniugio di G su A. Dunque, , dove l'ultima uguaglianza segue dal fatto che lo stabilizzatore di P nell'azione per coniugio è proprio il normalizzante di P in G. Per il Teorema di Lagrange, . Dunque, poiché |P| = pk, divide m. Poiché np = |A|, ne segue che np | m.

Rimane da provare la seconda parte della tesi. A tale scopo consideriamo QA e definiamo l'azione

Questa azione ha un numero r di orbite, che indichiamo con O(Pi), al variare di Pi in A. Per l'equazione delle orbite, segue dunque che

Tutte queste orbite hanno lunghezza o 1 o una potenza propria di p. Osserviamo innanzitutto che e che . Per verificare la tesi, dobbiamo a questo punto solo mostrare che tutte le altre orbite hanno lunghezza un multiplo di p. Supponiamo, per assurdo, che l'orbita di Q non sia l'unica di lunghezza 1, ovvero supponiamo che esista tale che . Allora , ovvero . Il che implica che , poiché . Dunque, e il suo ordine vale:

.

Il numeratore vale poiché entrambi appartengono ad A; al denominatore troviamo invece una potenza di p, con esponente strettamente minore di k, in quanto e . Ovviamente il denominatore non può valere pk, poiché se così fosse risulterebbe , ma questo non è possibile perché avevamo supposto per ipotesi che fosse . Dunque, , con . Ma questo è un assurdo, poiché . Dunque l'ipotesi che esistesse un'altra orbita, oltre a quella di Q, di lunghezza 1 è un assurdo. Quindi,

Due semplici applicazioni[modifica | modifica wikitesto]

Un gruppo di ordine con e primi, minore di che non divide , per esempio di ordine , è necessariamente un gruppo ciclico.

Il numero nq di q-Sylow è congruo 1 modulo q e divide p quindi si ha necessariamente nq=1 essendo p minore di q. Inoltre essendo np ≡ 1 mod p e poiché np divide q deve essere np=1 (non può essere q per la condizione che p non divide q-1). Ogni Sylow è quindi un sottogruppo normale. Ma allora si può realizzare come prodotto diretto dei suoi Sylow (che hanno come elemento comune solo l'identità). Inoltre p e q sono primi fra loro quindi il gruppo è ciclico.

Si osservi l'importanza della condizione che p non divida q-1: basta pensare che esistono due gruppi di ordine (quello ciclico e il gruppo simmetrico su tre oggetti).


Vediamo perché un gruppo di ordine contiene un sottogruppo ciclico normale di ordine 11. Il numero di 3-Sylow deve essere congruo a 1 modulo 3 e deve dividere 44, le uniche possibilità sono 1,4 e 22. Il numero di 11-Sylow invece deve essere congruo a 1 modulo 11 e dividere 12 quindi n11=1 o n11=12. Se fosse n3=22 avremmo 44 elementi di periodo 3 e questo implica n11=1 perché altrimenti ci sarebbero 120 elementi di periodo 11: troppi!

Qualora fosse n3=1 il 3-Sylow C3 sarebbe normale. Allora G/C3 avrebbe ordine 44 e conterrebbe un sottogruppo normale di ordine 11. A questo sottogruppo corrisponde un sottogruppo normale di di ordine 33, quindi ciclico. Un elemento di periodo 11 in genera il sottogruppo normale di ordine 11 cercato.

L'ultima possibilità è n3=4. Anche in questo caso n11 non può valere 12. Se così fosse avremmo 8 elementi di periodo 3, 120 di periodo 11 e l'identità. C'è posto solo per 3 elementi di periodo 2. Allora il 2-Sylow S2 è normale. Vediamo il quoziente G/S2: ha ordine 33. Questo è ciclico e contiene un sottogruppo di ordine 11. A questo corrisponde un sottogruppo normale di di ordine 44. Tale sottogruppo ha esattamente 10 elementi di periodo 11: troppo pochi (avevamo supposto che ne avesse complessivamente 120).

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Claudia Menini, Freddy Van Oystaeyen, Abstract Algebra: A Comprehensive Treatment, CRC Press, ISBN 978-0-8247-0985-3
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