Estensione normale

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In matematica, e in particolare in teoria dei campi, un'estensione normale è un'estensione di campi algebrica tale che ogni polinomio irriducibile nell'anello dei polinomi che ha una radice in si spezza completamente in

Definizioni equivalenti[modifica | modifica wikitesto]

Vi sono molte caratterizzazioni equivalenti delle estensioni normali. Se infatti è un'estensione di campi, allora sono equivalenti:

  • è un'estensione normale;
  • se , allora tutte le radici del polinomio minimo di su sono in ;
  • ogni automorfismo di una chiusura algebrica di che fissa è un automorfismo di ;
  • è il campo di spezzamento su di una famiglia di polinomi di .

Quando l'estensione è anche finita, allora l'ultima di queste equivalenze può essere semplificata richiedendo che sia il campo di spezzamento di un singolo polinomio di .

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

  • Il campo è un'estensione normale di ,in quanto esso è il campo di spezzamento di . Più in generale, qualsiasi estensione di grado 2 è normale.
  • non è un'estensione normale di : infatti, ha come polinomio minimo , le cui altre due radici non sono reali, e quindi non possono essere contenute dentro (che è contenuto in ).
  • Se è la chiusura algebrica di , allora è normale, in quanto ogni polinomio di si decompone linearmente in .

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

  • Per definizione, un'estensione è di Galois se e solo se è normale e separabile.
  • Se è un'estensione normale, e , allora anche è normale. In generale, invece, l'estensione non è normale.
  • Se e sono estensioni normali, allora anche e (dove è il campo generato da ed ) sono normali. Lo stesso avviene per una quantità infinita di estensioni normali.

Chiusura normale[modifica | modifica wikitesto]

Se è un'estensione algebrica, esiste sempre un'estensione di che è la più piccola estensione normale di contenente ; essa è chiamata la chiusura normale di su , ed è unica a meno di isomorfismi.

Se (cioè se è generato su da un insieme ), allora la chiusura normale di su è generata dalle radici dei polinomi minimi su degli elementi di : ad esempio, la chiusura integrale di su è uguale a , dove è una radice primitiva terza dell'unità.

In particolare, se è un'estensione finita anche la chiusura normale di su è un'estensione finita di .

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Stefania Gabelli, Teoria delle Equazioni e Teoria di Galois, Milano, Springer, 2008, ISBN 978-88-470-0618-8.
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