Teorema di Cayley

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Il teorema di Cayley, dal nome del matematico britannico Arthur Cayley, è un teorema riguardante la teoria dei gruppi.

Il teorema asserisce che ogni gruppo (finito o infinito) è isomorfo a un sottogruppo di un gruppo simmetrico. In altre parole, ogni gruppo può essere considerato come un particolare gruppo di permutazioni.

Enunciato[modifica | modifica wikitesto]

Sia G un gruppo di cardinalità arbitraria (non necessariamente finita). Sia S(G) il gruppo simmetrico di G (vale a dire il gruppo delle permutazioni dell'insieme G). Il teorema di Cayley asserisce il fatto seguente:

Il gruppo G è isomorfo ad un sottogruppo di S(G).

In particolare, ogni gruppo finito G è isomorfo ad un sottogruppo di un gruppo simmetrico finito.

Il gruppo simmetrico su n oggetti contiene una copia di ogni gruppo di ordine n.

Costruzione dell'isomorfismo[modifica | modifica wikitesto]

Un isomorfismo può essere costruito come segue.

T_g: G \to G tale che  T_g(x)=gx

cioè si moltiplica a sinistra per l'elemento g di G. L'applicazione T_g è una permutazione sugli elementi di G e dunque risulta in S(G). Per concludere basta definire l'applicazione:

T:G \to S(G)

che associa ad ogni elemento g di G la corrispondente permutazione T_g.

È semplice mostrare come questa applicazione realizzi effettivamente un omomorfismo (risulta cruciale, per la dimostrazione, la proprietà associativa dell'operazione definita su G)

Questo omomorfismo, inoltre, risulta essere iniettivo, e quindi G è isomorfo alla sua immagine T(G).

Osservazione[modifica | modifica wikitesto]

In generale, la dimostrazione standard del teorema di Cayley non produce la rappresentazione di G in un gruppo di permutazioni di ordine minimale.

Semplici esempi di questo si vedono prendendo G coincidente proprio con un gruppo di permutazioni.

Ad esempio, si prenda G = S_3, cioè uguale al gruppo simmetrico su 3 oggetti (che ha ordine 3!=6). Utilizzando il procedimento dimostrativo del teorema si riesce a rappresentarlo come sottogruppo di S_6 (un gruppo il cui ordine è pari a a ben 6!=720).

Tuttavia, siccome S_3 è già di per sé un gruppo di permutazioni, una sua rappresentazione è quella su S_3 stesso, che, come già detto, ha solo ordine 6[1]

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

La costruzione appena descritta può essere concretamente visualizzata su alcuni gruppi noti. Qui S_n è il gruppo delle permutazioni dell'insieme \{0,\ldots,n-1\} e ogni permutazione è descritta come prodotto di cicli.

  • Il gruppo ciclico \mathbb{Z}_2 = \{0,1\} è identificato ad un sottogruppo di S_2: l'elemento 0 corrisponde all'identità e l'elemento 1 alla permutazione (01).
  • \mathbb{Z}_3 = \{0,1,2\} è identificato ad un sottogruppo di S_3: l'elemento 0 corrisponde all'identità, l'elemento 1 alla permutazione (123) e l'elemento 2 alla permutazione (132). L'uguaglianza 1 + 1 = 2 corrisponde a (123)(123)=(132).
  • \mathbb{Z}_4 = \{0,1,2,3\} è identificato ad un sottogruppo di S_4: gli elementi corrispondono a e, (1234), (13)(24), (1432).

Applicazioni[modifica | modifica wikitesto]

Il teorema trova numerose applicazioni sia dal punto di vista pratico che teorico. Nella teoria dei grafi permette ad esempio di derivare numerose proprietà strutturali di grafi ed alberi.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ (EN) Peter J. Cameron, Introduction to Algebra, Second Edition, Oxford University Press, 2008, p. 134, ISBN 978–0–19–852793–0.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

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