Teorema di Cayley

Il teorema di Cayley, dal nome del matematico britannico Arthur Cayley, è un teorema riguardante la teoria dei gruppi.

Il teorema asserisce che ogni gruppo è isomorfo a un sottogruppo di un gruppo simmetrico. In altre parole, ogni gruppo può essere considerato come un particolare gruppo di permutazioni.

Enunciato

Sia $G$ un gruppo di cardinalità arbitraria (non necessariamente finita). Sia $S(G)$ il gruppo simmetrico di $G$ (vale a dire il gruppo delle permutazioni dell'insieme $G$). Il teorema di Cayley asserisce il fatto seguente:

Il gruppo $G$ è isomorfo ad un sottogruppo di $S(G)$.

In particolare, ogni gruppo finito $G$ è isomorfo ad un sottogruppo di un gruppo simmetrico finito.

Il gruppo simmetrico su $n$ oggetti contiene una copia di ogni gruppo di ordine n.

Costruzione dell'isomorfismo

Un isomorfismo può essere costruito come segue.

$T_{g}\colon G\to G$ tale che $T_{g}(x)=gx$

cioè si moltiplica a sinistra per l'elemento $g$ di $G$. L'applicazione $T_{g}$ è una permutazione sugli elementi di $G$ e dunque risulta in $S(G)$. Per concludere basta definire l'applicazione:

$T\colon G\to S(G)$

che associa ad ogni elemento $g$ di $G$ la corrispondente permutazione $T_{g}$.

È semplice mostrare come questa applicazione realizzi effettivamente un omomorfismo (risulta cruciale, per la dimostrazione, la proprietà associativa dell'operazione definita su $G$)

Questo omomorfismo, inoltre, risulta essere iniettivo, e quindi $G$ è isomorfo alla sua immagine $T(G)$.

Osservazione

In generale, la dimostrazione standard del teorema di Cayley non produce la rappresentazione di $G$ in un gruppo di permutazioni di ordine minimale.

Semplici esempi di questo si vedono prendendo $G$ coincidente proprio con un gruppo di permutazioni.

Ad esempio, si prenda $G=S_{3}$, cioè uguale al gruppo simmetrico su 3 oggetti (che ha ordine 3!=6). Utilizzando il procedimento dimostrativo del teorema si riesce a rappresentarlo come sottogruppo di $S_{6}$ (un gruppo il cui ordine è 6!=720).

Tuttavia, siccome $S_{3}$ è già di per sé un gruppo di permutazioni, una sua rappresentazione è quella su $S_{3}$ stesso, che, come già detto, ha solo ordine 6

Esempi

La costruzione appena descritta può essere concretamente visualizzata su alcuni gruppi noti. Qui $S_{n}$ è il gruppo delle permutazioni dell'insieme $\{0,\ldots ,n-1\}$ e ogni permutazione è descritta come prodotto di cicli.

• Il gruppo ciclico $\mathbb {Z} _{2}=\{0,1\}$ è identificato ad un sottogruppo di $S_{2}$: l'elemento $0$ corrisponde all'identità e l'elemento $1$ alla permutazione $(01).$
• $\mathbb {Z} _{3}=\{0,1,2\}$ è identificato ad un sottogruppo di $S_{3}$: l'elemento $0$ corrisponde all'identità, l'elemento $1$ alla permutazione $(123)$ e l'elemento $2$ alla permutazione $(132).$ L'uguaglianza $1+1=2$ corrisponde a $(123)(123)=(132).$
• $\mathbb {Z} _{4}=\{0,1,2,3\}$ è identificato ad un sottogruppo di $S_{4}$: gli elementi corrispondono a $e,$ $(1234),$ $(13)(24),$ $(1432).$

Applicazioni

Il teorema trova numerose applicazioni sia dal punto di vista pratico che teorico. Nella teoria dei grafi permette ad esempio di derivare numerose proprietà strutturali di grafi ed alberi.

Bibliografia

• Israel Nathan Herstein, Algebra, Editori Riuniti, 2003, ISBN 88-359-5479-7.
• Walter Ledermann, Introduzione alla teoria dei gruppi finiti, collana collana Poliedro, Roma, Edizioni Cremonese, 1967, pp. 85-89, ISBN non esistente.