Prodotto diretto di gruppi

In algebra, il prodotto diretto di gruppi è un gruppo ottenuto partendo dal prodotto cartesiano di gruppi e munendolo di una specifica operazione. In alcuni casi è possibile realizzare il procedimento inverso: partire da un gruppo e decomporlo come prodotto diretto di suoi sottogruppi. Il vantaggio è evidente: i sottogruppi fattori, avendo ordine minore rispetto al gruppo di partenza, sono più semplici da studiare.

Prodotto diretto di due gruppi

Prodotto diretto esterno

Siano $(G_{1},*_{1})$ e $(G_{2},*_{2})$ due gruppi. Ricordando che

G_{1}\times G_{2}:=\{(a_{1},a_{2})\,|\,a_{1}\in G_{1},a_{2}\in G_{2}\},

si definisce su tale insieme l'operazione $*$ nel seguente modo:

(a_{1},a_{2})*(b_{1},b_{2}):=(a_{1}*_{1}b_{1},a_{2}*_{2}b_{2}),

con $a_{1},b_{1}\in G_{1}$ e $a_{2},b_{2}\in G_{2}$ .

Grazie alle strutture di gruppo di $G_{1}$ e $G_{2}$ , si osserva che:

l'operazione $*$ è associativa;
$(e_{1},e_{2})$ è l'elemento neutro (con $e_{i}$ elemento neutro di $G_{i}$ );
ogni elemento possiede l'inverso definito da
$(a_{1},a_{2})^{-1}:=(a_{1}^{-1},a_{2}^{-1}).$

La coppia $(G_{1}\times G_{2},*)$ è pertanto un gruppo chiamato prodotto diretto esterno tra $G_{1}$ e $G_{2}$ .

Prodotto diretto interno

Sia $G$ un gruppo. Detti $H$ e $K$ due sottogruppi di $G$ è possibile, sotto determinate condizioni, decomporre $G$ come

G\cong H\times K.

In questo caso il gruppo $H\times K$ viene detto prodotto diretto interno tra $H$ e $K$ .

Decomposizione tramite prodotto diretto interno

Proposizione^[1]

Siano $G$ un gruppo e $H,K$ due sottogruppi di $G$ tali che:

$H$ e $K$ sono sottogruppi normali di $G$ ;
$H\cap K=\{e\}$ , dove $e$ è l'elemento neutro di $G$ ;
$HK=G$ .

Allora vale la decomposizione

G\cong H\times K.

L'isomorfismo è la funzione

{\begin{aligned}\phi \colon H\times K&\rightarrow G\\(h,k)&\mapsto hk.\end{aligned}}

Esempio

Detti $D_{k}$ il gruppo diedrale di ordine $2k$ e $C_{k}$ il gruppo ciclico di ordine $k$ ,^[2] risulta

D_{6}\cong D_{3}\times C_{2}.

Decomposizione di gruppi ciclici

Nel caso particolare dei gruppi ciclici, è possibile imporre una condizione sull'ordine dei sottogruppi per avere la validità della proposizione precedente.

Proposizione (gruppi ciclici)^[3]

Siano due numeri naturali $p$ e $q$ coprimi. Allora si ha

C_{pq}\cong C_{p}\times C_{q}.

L'isomorfismo è la funzione $\phi$ data da

\phi (a^{k})=(b^{k},c^{k}),

con $a,b,c$ generatori rispettivamente di $C_{pq},C_{p},C_{q}$ .

Esempi

I numeri 3 e 5 sono coprimi, dunque risulta

C_{15}\cong C_{3}\times C_{5}.

Il numero 2 non è coprimo con sé stesso, dunque non è vero che

C_{4}\cong C_{2}\times C_{2}.

^[4]

Generalizzazioni

La teoria sopra presentata si può generalizzare al caso di $n$ gruppi.

Dato un prodotto diretto $G_{1}\times G_{2}$ , si ha
$|G_{1}\times G_{2}|=|G_{1}|\cdot |G_{2}|.$

Analogamente, nel caso di un prodotto formato da $n$ gruppi, si ha

$|G_{1}\times \ldots \times G_{n}|=\prod _{i=1}^{n}|G_{i}|.$
Se $r=r_{1}\cdot \ldots \cdot r_{n}$ , con tutti gli $r_{i}$ coprimi, vale
$C_{r}\cong C_{r_{1}}\times \ldots \times C_{r_{n}}.$

L'isomorfismo è analogo al caso di due gruppi considerando i generatori di tutti gli $n$ gruppi ciclici.
Dato un prodotto diretto $G_{1}\times G_{2}$ , è possibile metterlo in relazione con i gruppi fattori.
Ad esempio la funzione
${\begin{aligned}i_{1}\colon G_{1}&\rightarrow G_{1}\times G_{2},\\a&\mapsto (a,e_{2}),\end{aligned}}$

identifica $G_{1}$ con il sottogruppo $G_{1}\times \{e_{2}\}$ . Invece, la funzione

${\begin{aligned}p_{1}\colon G_{1}\times G_{2}&\rightarrow G_{1},\\(a_{1},a_{2})&\mapsto a_{1},\end{aligned}}$

detta proiezione, ricava il gruppo $G_{1}$ dal prodotto iniziale. La definizione delle funzioni $i_{2}$ e $p_{2}$ è analoga e la costruzione è estendibile al prodotto di $n$ gruppi.