Glossario di teoria dei gruppi

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Un gruppo è un insieme munito di una operazione associativa dotata di elemento neutro e tale che ogni elemento possiede un inverso. Gruppi molto importanti sono costituiti da trasformazioni; altri gruppi che si incontrano spesso sono costituiti da insiemi numerici muniti della moltiplicazione. In genere l'operazione di un gruppo viene chiamata prodotto e il suo elemento neutro viene detto unità o elemento identità. In questo articolo useremo e per denotare l'unità di un gruppo.

Indice
0 - 9 A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z ?

A[modifica | modifica sorgente]

Automorfismo[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Automorfismo.

Si dice automorfismo un isomorfismo di un oggetto matematico in se stesso. L'insieme degli automorfismi di un oggetto matematico con l'operazione di composizione di funzioni forma un gruppo chiamato gruppo di automorfismi.

Automorfismo interno[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Automorfismo interno.

Un automorfismo interno di un gruppo (G,*) è un automorfismo indotto da un elemento g di G della forma:

T_g(x)=g^{-1}*x*g.

Azione di gruppo[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Azione di gruppo.

Siano G un gruppo ed A un insieme, siano inoltre g e h due elementi di G e a un elemento di A. Si dice azione di gruppo una funzione:

 G \times A \to A
   (g,a) \mapsto g \cdot a,

dove \cdot è definita in modo tale da verificare le due seguenti condizioni:

  • e \cdot a=a \quad \forall a \in A;
  • g \cdot (h \cdot a)=(gh) \cdot a \quad \forall g,h \in G, \ a \in A.

C[modifica | modifica sorgente]

Centralizzatore[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Centralizzatore.

Se (G,*) è un gruppo e g è un elemento di G si dice centralizzatore di g l'insieme:

Z(g):=\{h \in G\, |\, g*h=h*g\}.

Centro[modifica | modifica sorgente]

Il centro di un gruppo (G,*) è il sottoinsieme:

C:=\{c \,|\, c*g=g*c\ \forall g \in G\}.

Classe di coniugio[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Classe di coniugio.

Due elementi a e b di un gruppo (G,*) si dicono coniugati tra loro se esiste un elemento h di G tale che h^{-1}*a*h=b. Una classe di coniugio è quindi un insieme di G formato solo da elementi coniugati tra di loro, quindi la classe di coniugio di a sarà:

Cl(a):=\{g^{-1}*a*g\,|\,g \in G\}.

Commutatore[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Commutatore.

Il commutatore di due elementi a e b di un gruppo (G,*) è definito come l'elemento:

[a,b]=a*b*a^{-1}*b^{-1},

dove a^{-1} e b^{-1} sono gli inversi rispettivamente di a e b. È da notare che se l'operazione * gode della proprietà commutativa il commutatore di qualsiasi coppia di elementi di G è uguale a:

[a,b]=a*b*a^{-1}*b^{-1}=a*a^{-1}*b*b^{-1}=1.

E[modifica | modifica sorgente]

Estensione di un gruppo[modifica | modifica sorgente]

Dati due gruppi H e N, si dice estensione del gruppo N mediante H il gruppo G in cui esista un sottogruppo normale \tilde{N} tale che \tilde{N} è isomorfo ad N e G/\tilde{N} è isomorfo ad H.

G[modifica | modifica sorgente]

Gruppo abeliano[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Gruppo abeliano.

Un gruppo si dice abeliano o commutativo se la sua operazione binaria possiede la proprietà commutativa.

Gruppo abeliano libero[modifica | modifica sorgente]

Un gruppo abeliano è detto libero se ogni suo elemento può essere scritto in modo unico come combinazione finita di elementi di un suo fissato sottinsieme, detto base[1]. Dato un insieme qualunque A è possibile costruire il gruppo abeliano libero F(A) con base A nel seguente modo: gli elementi di F(A) sono le funzioni su A a valori interi tali che f(x) = 0 per ogni x \in A tranne al più un numero finito; F(A) viene reso un gruppo abeliano con l'ordinaria somma tra funzioni definita da (f+g)(x) = f(x) + g(x), ed è libero con base data dalle funzioni \{\delta_a\}_{a\in A} definite da


\delta_a(x) = \begin{cases}1 \quad \text{se}\;x = a\\0 \quad \text{altrimenti.}\end{cases}

Identificando \delta_a con a in modo naturale si ottiene il gruppo libero generato da A.

Questa è solo una delle (infinite) possibili costruzioni esplicite, nel senso che è possibile trovare altri gruppi isomorfi a questo usando costruzioni diverse; pertanto, risulta utile caratterizzare F(A) tramite la seguente proprietà universale: F(A) è l'unico (a meno di isomorfismi) gruppo abeliano tale che, per ogni gruppo abeliano H e per ogni funzione f: A \to H, esiste un unico omomorfismo di gruppi \tilde{f} : F(A) \to H che estende f.

Gruppo ciclico[modifica | modifica sorgente]

Un gruppo si dice ciclico se è generato da un insieme costituito da un solo elemento. Un tale gruppo può avere ordine finito (e in particolare ridursi semplicemente all'unità), oppure essere un gruppo ciclico di ordine infinito.

Gruppo dei quaternioni[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Gruppo dei quaternioni.

Il gruppo dei quaternioni è un particolare gruppo non abeliano formato da otto elementi, è il più piccolo gruppo hamiltoniano ed è anche il secondo gruppo non abeliano più piccolo, dopo il gruppo simmetrico S_3.

Gruppo diedrale[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Gruppo diedrale.

Un gruppo diedrale di ordine 2n è un gruppo formato dalle isometrie del piano che lasciano immutati i poligoni regolari con n lati.

Gruppo di Dedekind[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Gruppo hamiltoniano.

Un gruppo di Dedekind è un gruppo in cui ogni sottogruppo è normale.

Gruppo finitamente generato[modifica | modifica sorgente]

Un gruppo si dice finitamente generato se esiste un suo generatore di ordine finito.

Gruppo finito[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Gruppo finito.

Un gruppo finito è un gruppo costituito da un numero finito di elementi.

Gruppo generale lineare[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Gruppo generale lineare.

Il gruppo generale lneare, denotato spesso con \mathrm{GL}(n,K), è il gruppo delle matrici invertibili n × n con elementi nel campo F; particolarmente importanti sono i gruppi lineari generali sul campo dei numeri reali e dei numeri complessi.

Gruppo hamiltoniano[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Gruppo hamiltoniano.

Un gruppo hamiltoniano è un gruppo non abeliano in cui ogni sottogruppo è normale.

Gruppo libero[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Gruppo libero.

Un gruppo G si dice libero se esiste un sottoinsieme S di G tale che è possibile scrivere ogni elemento di G come prodotto di un numero finito di elementi di S e dei suoi inversi in modo unico.

Gruppo nilpotente[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Nilpotente.

Un gruppo G si dice nilpotente se la catena di sottogruppi normali:

\{e\}=Z_0 \subseteq Z_1 \subseteq \dots \subseteq Z_n=G,

con Z_{k+1}/Z_k centro del gruppo quoziente G/Z_k, termina finitamente.

Gruppo risolubile[modifica | modifica sorgente]

Un gruppo G è risolubile se esiste una catena di sottogruppi

\{e\}\subseteq H_1\subseteq H_2\subseteq\cdots\subseteq H_n=G

in cui ogni H_i è normale in H_{i+1} e il gruppo quoziente H_{i+1}/H_i è abeliano.

Gruppo semplice[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Gruppo semplice.

Gruppo che non contiene sottogruppi normali diversi dall'unità e da sé stesso. Ogni gruppo finito è costruibile prendendo dei gruppi semplici ed operando delle estensioni di gruppi: dunque lo studio e la classificazione dei gruppi semplici finiti è centrale nello studio dei gruppi finiti in generale.

Gruppo simmetrico[modifica | modifica sorgente]

Il gruppo simmetrico è il gruppo formato da tutte le permutazioni degli elementi di un insieme e dall'operazione di composizione di funzioni. Solitamente il gruppo simmetrico delle permutazioni di un insieme di cardinalità n viene indicato con S_n.

Gruppo quoziente[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Gruppo quoziente.

Se G è un gruppo ed N un sottogruppo normale di G allora si dice gruppo quoziente o gruppo fattore di G per N l'insieme

G/N=\{gN\, |\, g \in G \}=\{Ng\, |\, \forall g \in G \}

dei laterali destri o sinistri di G.

I[modifica | modifica sorgente]

Insieme generatore di un gruppo[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Insieme di generatori.

Se (G,*) è un gruppo si dice che un sottoinsieme S di G è un insieme generatore del gruppo G se per ogni elemento g appartenente a G si ha che g=s_1*\dots *s_n con s_1,\dots, s_n appartenenti a S.

Inverso[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Elemento inverso.

Se (G,*) è un gruppo, a e b sono due elementi di G si dice che b è l'inverso di a se a*b=b*a=1, spesso l'elemento inverso di un elemento a viene indicato come a^{-1}.

Isomorfismo tra gruppi[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Isomorfismo tra gruppi.

Un omomorfismo tra due gruppi si dice isomorfismo se è anche biettivo.

L[modifica | modifica sorgente]

Laterale[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Classe laterale.

Se G è un gruppo, H è un sottogruppo di G e g è un elemento di G si dice laterale destro di H in G rappresentato da a l'insieme:

Ha=\{ha\,|\,h \in H\},

e si dice laterale sinistro di H in G rappresentato da a l'insieme:

aH=\{ah\,|\,h \in H\}.

N[modifica | modifica sorgente]

Normalizzatore[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Normalizzatore.

Se (G,*) è un gruppo e (S,*) è un sottogruppo di G si dice normalizzatore di S l'insieme:

N_G(S):=\{h \in G\, |\, hS=Sh\}

Nucleo di un omomorfismo tra gruppi[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Nucleo (matematica).

Se G e H sono due gruppi, il nucleo o kernel di un omomorfismo \Omega:G \to H è l'insieme degli elementi di G che hanno come immagine l'unità di H.

O[modifica | modifica sorgente]

Omologia[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Omologia (topologia).

Un'omologia è una successione di gruppi abeliani assegnata ad un particolare oggetto matematico (come uno spazio topologico o un gruppo) che fornisce in qualche maniera informazioni sull'oggetto in considerazione. Un'omologia su un oggetto X viene indicata come:

H_0(X),H_1(X),H_2(X),H_3(X),\dots

Omomorfismo di gruppi[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Omomorfismo di gruppi.

Se (G,*) e (H,\star) sono due gruppi la funzione f: G\to H si dice omomorfismo tra G e H se per ogni a e b appartenenti a G si ha:

f(a*b)=f(a)\star f(b)

Ordine di un elemento[modifica | modifica sorgente]

Se (G,*) è un gruppo e g è un elemento di G, si dice ordine di g l'ordine del gruppo ciclico generato da g.

Ordine di un gruppo[modifica | modifica sorgente]

Se (G,*) è un gruppo, il suo ordine è la cardinalità dell'insieme G cioè il numero dei suoi elementi. Spesso l'ordine di un gruppo G viene indicato come |G|.

P[modifica | modifica sorgente]

p-gruppo[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Gruppo primario.

Un gruppo primario (o p-gruppo) è un gruppo i cui elementi hanno un ordine che è potenza di un numero primo p.

Presentazione di un gruppo[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Presentazione di un gruppo.

Una presentazione di un gruppo è una particolare definizione ottenuta mediante l'elencazione dei seguenti insiemi:

  • i generatori del gruppo, ovvero degli elementi il cui prodotto combinato dà origine a tutti gli elementi del gruppo;
  • le relazioni, ovvero una serie di uguaglianze tra i vari elementi del gruppo.

Problema di Burnside[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Problema di Burnside.

Il problema di Burnside è un quesito di teoria dei gruppi proposto nel 1902 da William Burnside. Il problema può essere formulato in questo modo:

Se un gruppo è finitamente generato e tutti i suoi elementi hanno ordine finito allora il gruppo è finito?

La risposta a questa domanda è stata dimostrata essere negativa nel 1964 da Golod e Šafarevič.

Prodotto diretto e semidiretto[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Prodotto diretto.

Il prodotto diretto di due gruppi (G_1, *) e (G_2, \star) è un altro gruppo, costruito prendendo il prodotto cartesiano G_1 \times G_2 e definendo la legge di composizione:

(a_1,a_2)\cdot(b_1,b_2):=(a_1 * b_1, a_2 \star b_2),

dove  a_1,b_1 \in G_1 e a_2,b_2 \in G_2.

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Prodotto semidiretto.

Il prodotto semidiretto è una generalizzazione del concetto di prodotto diretto. Un prodotto semidiretto di due gruppi (G_1, *) e (G_2, \star) ha sempre come elementi quelli del prodotto cartesiano G_1 \times G_2. La legge di composizione però dipende anche da un omomorfismo particolare scelto fra gli omomorfismi \psi : (G_2, \star) \rightarrow Aut((G_1, *))

Prodotto libero[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Prodotto libero.

Siano G e H due gruppi. Si definisce parola in G e H una successione finita di elementi s_1 \dots s_n dove s_i è un elemento di G o di H.

Il prodotto libero G*H tra G e H è il gruppo di tutte le parole in G e H a meno di una relazione di equivalenza. L'operazione di gruppo è il concatenamento delle parole.

R[modifica | modifica sorgente]

Rango di un gruppo abeliano[modifica | modifica sorgente]

Il rango di un gruppo abeliano G rappresenta la dimensione più grande gruppo abeliano libero contenuto in G.

Rappresentazione di un gruppo[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Rappresentazione di un gruppo.

Una rappresentazione di un gruppo G su uno spazio vettoriale V su un campo K è un omomorfismo di gruppi da G al gruppo generale lineare su V (spesso indicato con \mathrm{GL}(V)).

Relazione di congruenza[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Relazione di congruenza.

Se (G,*) è un gruppo e \sim è una relazione binaria su G allora \sim è una congruenza se:

  • dato un generico elemento a di G, a \sim a;
  • dati i generici elementi a e b di G, se a \sim b allora b \sim a
  • dati i generici elementi a, b e c di G, se a \sim b e b \sim c allora a \sim c;
  • dati i generici elementi a e b di G, se a \sim b allora a^{-1} \sim b^{-1}
  • dati i generici elementi a_1, a_2, b_1 e b_2 di G se a_1 \sim b_1 e a_2 \sim b_2 allora a_1*a_2 \sim b_1*b_2.

Relazione di equivalenza[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Relazione di equivalenza.

Una relazione di equivalenza \sim è una relazione binaria tra elementi di un insieme A riflessiva, simmetrica e transitiva quindi

  • x \sim x \quad \forall x \in A
  • x \sim y implica y \sim x \quad \forall x,y \in A
  • x \sim y e y \sim z implicano x \sim z \quad \forall x,y,z \in A

Reticolo dei sottogruppi di un gruppo[modifica | modifica sorgente]

Se G è un gruppo allora il reticolo dei sottogruppi del gruppo G è la struttura algebrica formata dall'insieme dei sottogruppi di G e dall'operazione di inclusione fra insiemi.

S[modifica | modifica sorgente]

Somma diretta[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Prodotto diretto.

Il prodotto diretto tra due gruppi scritti in forma additiva viene anche chiamato somma diretta.

Sottogruppo[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Sottogruppo.

Se G è un gruppo rispetto all'operazione * allora si dice sottogruppo un sottoinsieme di G chiuso rispetto all'operazione *.

Sottogruppo caratteristico[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Sottogruppo caratteristico.

Un sottogruppo si dice caratteristico se viene mandato in sé da ogni automorfismo del gruppo che lo contiene

Sottogruppo di torsione[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Sottogruppo di torsione.

Se (G,*) è un gruppo il suo sottogruppo di torsione è l'insieme dei suoi elementi aventi ordine finito. Gli elementi di un sottogruppo di torsione si dicono elementi di torsione.

Sottogruppo normale[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Sottogruppo normale.

Se G è un gruppo si dice che il gruppo H è un sottogruppo normale di G se è un sottogruppo di G e per ogni elemento g di G i laterali destri Hg di H coincidono con i laterali sinistri gH di H.

T[modifica | modifica sorgente]

Tabella di Cayley[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Tabella di Cayley.

Tabella a doppia entrata che mostra i risultati di tutti i possibili prodotti tra gli elementi di un gruppo finito, descrivendone quindi la struttura. Può essere usata per dedurre velocemente proprietà di un gruppo quali il centro o l'abelianità.

Teorema di isomorfismo[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Teorema di isomorfismo.

Nella teoria dei gruppi esistono tre teoremi di isomorfismo che definiscono degli isomorfismi tra vari oggetti della teoria dei gruppi.

Teorema di Lagrange[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Teorema di Lagrange.

Il teorema di Lagrange è un enunciato che afferma che ogni sottogruppo di un gruppo finito ha ordine che divide l'ordine del gruppo. Quindi se G è un gruppo e S è un sottogruppo di G allora l'ordine di S divide l'ordine di G.

Teorema enorme[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Classificazione dei gruppi semplici finiti.

Il teorema enorme è l'enunciato che elenca tutti tipi di gruppi finiti semplici esistenti, cioè risolve il problema della classificazione di tali gruppi. Il nome è dovuto al fatto che la dimostrazione completa richiede sviluppi presentati in una gran quantità di articoli, per un complesso di circa 16000 pagine.

Teoremi di Sylow[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Teoremi di Sylow.

Importanti teoremi riguardanti i p-gruppi.

U[modifica | modifica sorgente]

Unità[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Elemento neutro.

Se (G,*) è un gruppo, si dice unità o elemento neutro del gruppo G l'elemento g appartenente a G tale che per ogni a in G si ha che a*g=g*a=a. L'unità di un gruppo (G, *) si indica spesso con e oppure 1_G o anche semplicemente come 1.

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ (EN) Vick, Homology Theory - An Introduction to Algebraic Topology (second edition), New York, Springer, 1994, p. 3.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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