Teorema di Cauchy (teoria dei gruppi)

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In matematica, il teorema di Cauchy è un teorema della teoria dei gruppi finiti; afferma che, se è un gruppo finito di ordine , e è un numero primo che divide , allora esiste in un elemento di ordine , e quindi un sottogruppo con elementi.

Prende nome da Augustin-Louis Cauchy.

Il teorema di Cauchy è un inverso parziale del teorema di Lagrange, ed è generalizzato dal primo teorema di Sylow (che garantisce l'esistenza di sottogruppi di ordine se è un numero primo e divide l'ordine del gruppo).

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Sia un gruppo e un primo che divide l'ordine del gruppo. Consideriamo il seguente insieme di -uple di elementi di :

,

dove è l'identità del gruppo.

L'insieme contiene esattamente elementi: i primi possono essere scelti ciascuno in modi distinti, mentre la scelta dell'ultimo è obbligata (deve essere l'inverso di ).

Diciamo ora che due -uple sono equivalenti se e solo se una è ottenibile dall'altra permutandone ciclicamente gli elementi; ovvero, le -uple equivalenti a sono quelle del tipo

,

per un intero compreso tra e . Questa è una relazione di equivalenza; le classi di equivalenza possono anche essere considerate come le orbite dell'azione naturale di su .

Se tutti gli elementi della -upla sono uguali, allora essa è l'unico elemento della sua classe di equivalenza; d'altro canto, se due elementi della -upla sono distinti, allora (essendo un numero primo) la classe di equivalenza comprende esattamente elementi.

Esiste almeno una -upla in con tutti gli elementi uguali, quella in cui sono tutti uguali all'elemento neutro; di conseguenza, se non ce ne fosse altre, si avrebbe

,

dove è un intero positivo. Poiché divide , questo è assurdo, e quindi deve esistere un diverso dall'elemento neutro tale che ; in particolare, l'ordine di è esattamente .

Conseguenze[modifica | modifica wikitesto]

Una conseguenza immediata di questo teorema è il fatto che, se tutti gli elementi di un gruppo finito hanno per ordine una potenza di , allora anche l'ordine del gruppo è una potenza di : se infatti fosse diviso da un altro primo , esisterebbe un sottogruppo con elementi, contro l'ipotesi.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

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