Teorema di Cauchy (teoria dei gruppi)

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In teoria dei gruppi, il teorema di Cauchy (che prende il nome da Augustin-Louis Cauchy) afferma che se è un gruppo finito di ordine , e è un numero primo che divide , allora esiste in un elemento di ordine (e quindi un sottogruppo con elementi).

Il teorema può essere direttamente derivato dal teorema di Sylow.

È una conseguenza immediata di questo teorema il fatto che se tutti gli elementi hanno per ordine una potenza di , allora anche l'ordine del gruppo è una potenza di : se infatti fosse diviso da un altro primo esisterebbe un sottogruppo con elementi, contro l'ipotesi.

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Dato che, per ipotesi, è un primo che divide l'ordine del gruppo, sia

Consideriamo il seguente insieme di -uple di elementi di :

Questo contiene esattamente elementi: i primi possono essere scelti ciascuno in modi, laddove la scelta del -esimo è obbligata, dato che deve necessariamente essere l'inverso del prodotto dei primi .

Diciamo ora che due -uple sono equivalenti se e solo se una è ottenibile dall'altra permutandone ciclicamente gli elementi, definendo così una relazione di equivalenza. Notiamo che se gli di una -upla sono tutti uguali, allora questa è l'unico elemento della propria classe di equivalenza, mentre se almeno due sono distinti, la classe contiene esattamente -uple.

Sappiamo che sicuramente esiste una -upla formata da tutti elementi neutri, e supponiamo ora per assurdo che non ne esistano altre aventi elementi tutti uguali. Allora

che è evidentemente un assurdo (perché ).

Esisterà quindi una -upla e dunque tale che .

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