Prodotto semidiretto

In algebra, il prodotto semidiretto è un'estensione del concetto di prodotto diretto. Così come il prodotto diretto, un prodotto semidiretto di due gruppi $(G_{1},\cdot ),(G_{2},\star )$ è un gruppo che ha come elementi quelli del prodotto cartesiano $G_{1}\times G_{2}$ , la cui legge di composizione dipende però anche da un omomorfismo particolare scelto fra gli omomorfismi $\psi \colon (G_{2},\star )\to \mathrm {Aut} ((G_{1},\cdot ))$ .^[1]

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Dati due gruppi $(G_{1},\cdot ),(G_{2},\star )$ ed un omomorfismo $\psi \colon (G_{2},\star )\rightarrow \mathrm {Aut} ((G_{1},\cdot ))$ , chiamiamo prodotto semidiretto di $G_{1}$ e $G_{2}$ secondo $\psi$ il prodotto cartesiano $G_{1}\times G_{2}$ dotato della seguente operazione:

(a,b)*(c,d)=(a\cdot \psi _{b}(c),b\star d)

dove indichiamo con $\psi _{b}$ l'automorfismo $\psi (b)$ appartenente all'insieme $\mathrm {Aut} ((G_{1},\cdot ))$ .

Il prodotto semidiretto di $G_{1}$ e $G_{2}$ secondo $\psi$ può essere indicato come

(G_{1},\cdot )\rtimes _{\psi }(G_{2},\star )

.

Prodotto diretto e semidiretto[modifica | modifica wikitesto]

Il prodotto diretto $(G_{1},\cdot )\times (G_{2},\star )$ è un caso particolare di prodotto semidiretto: quello ottenuto considerando tra $(G_{2},\star )$ e $\mathrm {Aut} ((G_{1},\cdot ))$ l'omomorfismo:

\psi (b)=\mathrm {Id} _{1},\quad \forall b\in G_{2}

dove $\mathrm {Id} _{1}$ è l'automorfismo identità in $(G_{1},\cdot )$ . Infatti l'operazione su $(G_{1},\cdot )\rtimes _{\psi }(G_{2},\star )$ sarà a questo punto:

$(a,b)*(c,d)=(a\cdot \psi _{b}(c),b\star d)=(a\cdot \mathrm {Id} _{1}(c),b\star d)=(a\cdot c,b\star d).$

Questa, per l'appunto, non è altro che l'operazione del prodotto diretto.

Teorema sulla decomposizione in prodotto semidiretto[modifica | modifica wikitesto]

Sia $(G,*)$ un gruppo e siano $H,K$ due suoi sottogruppi.

Se:

$H\triangleleft G$ ( $H$ è normale in $G$ ),
$G=HK=\{h*k\mid h\in H,k\in K\},$
$H\cap K=\{e\},$

allora $G\cong H\rtimes _{\psi }K$ , dove $\psi _{k}(h)=khk^{-1}$ (ossia ogni elemento viene mappato da $\psi$ nel rispettivo automorfismo coniugio).

L'isomorfismo tra $G$ e $H\rtimes _{\psi }K$ sarà quello che manda il generico elemento $h*k$ in $(h,k)$ .

Esempi di gruppi semidiretti[modifica | modifica wikitesto]

Dato un gruppo avente ordine $pq$ , con $p,q$ numeri primi distinti, $p<q$ , esso, per il teorema enunciato e per i teoremi di Sylow^[2], sarà decomponibile come:
$\mathbb {Z} _{q}\rtimes _{\psi }\mathbb {Z} _{p}.$
In particolare, se $p$ non divide $|\mathrm {Aut} (\mathbb {Z} _{q})|=\varphi (q)=q-1$ ( $\varphi$ è la funzione φ di Eulero), l'unico omomorfismo tra $\mathbb {Z} _{p}$ e $\mathrm {Aut} (\mathbb {Z} _{q})$ è quello che mappa ogni elemento nella funzione identità, e quindi in tale caso
$G\cong \mathbb {Z} _{q}\rtimes _{\psi }\mathbb {Z} _{p}=\mathbb {Z} _{q}\times \mathbb {Z} _{p}$
Ogni gruppo diedrale $D_{n}$ $D_n$ è isomorfo al seguente prodotto semidiretto:
$\mathbb {Z} _{n}\rtimes _{\psi }\mathbb {Z} _{2},$
dove $\psi (0)$ $\psi (0)$ è l'identità su $\mathbb {Z} _{n}$ $\mathbb{Z } _{n}$ e $\psi (1)$ $\psi (1)$ è l'applicazione che manda ogni elemento $m$ $m$ di $\mathbb {Z} _{n}$ $\mathbb{Z } _{n}$ nel suo opposto $-m$ $-m$ .^[3] In particolare un isomorfismo $\phi \colon D_{n}\rightarrow \mathbb {Z} _{n}\rtimes _{\psi }\mathbb {Z} _{2}$ $\phi \colon D_{n}\rightarrow \mathbb {Z} _{n}\rtimes _{\psi }\mathbb {Z} _{2}$ è quello tale che:
- $\phi (r)=(1,0),$
- $\phi (s)=(0,1),$
e quindi^[4]
$\phi (r^{h}s^{k})=(h,k),$
dove $r,s$ $r,s$ sono rispettivamente una rotazione di angolo minimo e una simmetria fissata.
Il gruppo di Poincaré, il gruppo di isometrie dello spazio-tempo di Minkowski, è il prodotto semidiretto delle traslazioni e delle trasformazioni di Lorentz
Il gruppo fondamentale della bottiglia di Klein può essere scritto nella forma
$\langle a,b\mid aba^{-1}=b^{-1}\rangle ,$
ed è perciò prodotto semidiretto del gruppo degli interi, $\mathbb {Z}$ , con sé stesso.

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Mentre il prodotto diretto di due gruppi abeliani è sempre abeliano, non si può dire altrettanto del prodotto semidiretto (un esempio è dato dai gruppi diedrali, dato che $D_{n}$ è non abeliano per ogni $n\geq 3$ ), e anzi, un prodotto semidiretto di due gruppi abeliani è abeliano se e solo se il prodotto diretto coincide con il prodotto semidiretto.

Note[modifica | modifica wikitesto]

^ Dato un gruppo $G$ , si indica con $\mathrm {Aut} (G)$ il gruppo degli automorfismi di $G$ (isomorfismi di $G$ in sé stesso), dotati dell'operazione di composizione.
^ Osserviamo che infatti un sottogruppo di ordine $p$ esiste e sarà normale in quanto caratteristico.
^ Visto nel gruppo diedrale, $\psi _{s}(r)=srs^{-1}=r^{-1}$
^ Essendo $r,s$ generatori per l'intero gruppo diedrale, l'isomorfismo è ben definito definendo semplicemente le loro immagini.