Prodotto semidiretto

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

In algebra, il prodotto semidiretto è un'estensione del concetto di prodotto diretto. Così come il prodotto diretto, un prodotto semidiretto di due gruppi ha sempre come elementi quelli del prodotto cartesiano ; la legge di composizione dipende però anche da un omomorfismo particolare scelto fra gli omomorfismi .[1]

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Dati due gruppi ed un omomorfismo , chiamiamo prodotto semidiretto di e secondo il prodotto cartesiano dotato della seguente operazione:

dove indichiamo con un qualche automorfismo appartenente all'insieme .

Il prodotto semidiretto di e secondo può essere indicato come

.

Prodotto diretto e semidiretto[modifica | modifica wikitesto]

Il prodotto diretto è un caso particolare di prodotto semidiretto: quello ottenuto considerando tra e l'omomorfismo:

dove è l'automorfismo identità in . Infatti l'operazione su sarà a questo punto:

Questa, per l'appunto, non è altro che l'operazione del prodotto diretto.

Teorema sulla decomposizione in prodotto semidiretto[modifica | modifica wikitesto]

Sia un gruppo e siano due suoi sottogruppi.

Se:

  • ( è normale in )

allora , dove (ovvero ogni elemento viene mappato da nel rispettivo automorfismo coniugio).

L'isomorfismo tra e sarà quello che manda in il generico elemento .

Esempi di gruppi semidiretti[modifica | modifica wikitesto]

  • Dato un gruppo avente ordine , con numeri primi distinti, , esso, per il teorema enunciato e per i teoremi di Sylow[2], sarà decomponibile come:
    In particolare, se non divide ( è la funzione φ di Eulero), l'unico omomorfismo tra e è quello che mappa ogni elemento nella funzione identità, e quindi in tale caso
  • Ogni gruppo diedrale è isomorfo al seguente prodotto semidiretto:
    dove è l'identità su e è l'applicazione che manda ogni elemento di nel suo opposto . [3] In particolare un isomorfismo è quello tale che:
    e quindi[4] dove sono rispettivamente una rotazione di angolo minimo ed una simmetria fissata.
  • Il gruppo di Poincaré, il gruppo di isometrie dello spazio-tempo di Minkowski, è il prodotto semidiretto delle traslazioni e delle trasformazioni di Lorenz
  • Il gruppo fondamentale della bottiglia di Klein può essere scritto nella forma
    ed è perciò prodotto semidiretto del gruppo degli interi, , con se stesso.

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Mentre il prodotto diretto di due gruppi abeliani è sempre abeliano, non si può dire altrettanto del prodotto semidiretto (un esempio è dato dai gruppi diedrali, dato che è non abeliano per ogni ), e anzi, un prodotto semidiretto di due gruppi abeliani è abeliano se e solo se il prodotto diretto coincide con il prodotto semidiretto.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Dato un gruppo , si indica con il gruppo degli automorfismi di (isomorfismi di in sé stesso), dotati dell'operazione di composizione.
  2. ^ Osserviamo che infatti un sottogruppo di ordine esiste e sarà normale in quanto caratteristico.
  3. ^ Visto nel gruppo diedrale,
  4. ^ Essendo generatori per l'intero gruppo diedrale, l'isomorfismo è ben definito definendo semplicemente le loro immagini.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Matematica Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica