Ideale (matematica)

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In matematica, e più precisamente in algebra, un ideale è un sottoinsieme di un anello chiuso rispetto alla somma interna e al prodotto con qualsiasi elemento dell'anello.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Sia un anello con le operazioni e . Un sottoinsieme di è un ideale destro se:

  • è un sottogruppo di ;
  • per ogni in ed ogni in l'elemento è sempre in ;

e ideale sinistro se:

  • è un sottogruppo di ;
  • per ogni in ed ogni in l'elemento è sempre in .

Un ideale che sia contemporaneamente destro e sinistro si dice ideale bilatero. Nel caso particolare in cui sia un anello commutativo le nozioni date coincidono e parliamo semplicemente di ideale.

Per semplicità diamo le definizioni seguenti solo in un anello commutativo.

Un ideale è un ideale proprio se è un sottoinsieme proprio di , cioè non coincide con . Un ideale proprio è un ideale massimale se non è contenuto strettamente in nessun altro ideale proprio. Un ideale proprio è un ideale primo se per ogni elemento in , almeno uno dei due elementi o appartiene ad .

Se ogni elemento di può essere scritto come

dove è un elemento di e è un sottoinsieme finito fissato di , diciamo che è finitamente generato e si scriverà . Se è generato da un solo elemento diciamo che è un ideale principale.

Storia[modifica | modifica wikitesto]

Il concetto di ideale fu introdotto da Ernst Kummer, per generalizzare il teorema fondamentale dell'aritmetica, che asserisce l'unicità della scomposizione di un numero intero in fattori primi. Tale unicità non è più valida se si considerano estensioni dei numeri interi, come l'anello

.

Ad esempio, il numero 6 ha due possibili scomposizioni in numeri primi:

.

I primi , e , consentono una scomposizione unica di , tuttavia essi non appartengono a , anche se vi appartiene ogni loro prodotto. Per tale caratteristica, Kummer denominò questi numeri come "primi ideali", dimostrando la decomposizione unica degli ideali in ideali primi per molte estensioni di . Gli ideali furono pertanto definiti come gli insiemi formati dai prodotti di numeri ideali; a partire da questa idea, Richard Dedekind diede nel 1871 la definizione attuale di ideale.

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

  • Un ideale è proprio se e solo se non contiene l'unità dell'anello. Infatti appartengono all'ideale tutti i numeri ottenuti moltiplicando un qualsiasi elemento di A per 1.
  • Più in generale risulta che se è invertibile. Infatti se è invertibile , quindi anche e ci si riporta al caso precedente.
  • L'anello quoziente è un dominio d'integrità se e solo se è un ideale primo.
  • L'anello quoziente è un campo se e solo se è un ideale massimale.
  • Gli ideali giocano un ruolo simile a quello dei sottogruppi normali nei teoremi di isomorfismo sugli anelli.
  • Un ideale può essere visto come sottomodulo di un anello e molti teoremi sugli ideali possono essere estesi alla teoria dei moduli.

Operazioni sugli ideali[modifica | modifica wikitesto]

Si definiscono somma e prodotto di ideali gli ideali definiti nel seguente modo:

e

Il prodotto di ideali è contenuto nella loro intersezione, mentre l'unione di due ideali è contenuta nella loro somma.

L'intersezione di due ideali è ancora un ideale, mentre l'unione non sempre.

Un'altra operazione è il radicale di un ideale.

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

  • Gli interi pari formano un ideale nell'anello di tutti gli interi.
  • Nell'anello degli interi, ogni ideale proprio è principale.
  • L'insieme di tutti i polinomi a coefficienti reali divisibili per il polinomio è un ideale nell'anello di tutti i polinomi.
  • L'insieme delle matrici quadrate con righe aventi l'ultima colonna nulla formano un ideale sinistro nell'anello di tutte le matrici quadrate con righe. Non è un ideale destro!
  • L'anello di tutte le funzioni continue da in contiene l'ideale di tutte le funzioni continue tali che .
  • e sono ideali in qualsiasi anello . Se è commutativo, è un campo se e solo se questi sono gli unici ideali di .

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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