Completamento di un anello

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In matematica, il completamento di un anello è un'operazione che permette di ottenere, a partire da un anello A, un altro anello con proprietà in generale "migliori", allo stesso modo con cui uno spazio metrico può essere completato; lo stesso nome "completamento" deriva dal fatto che tale operazione può essere vista come completamento di A rispetto alla topologia definita dalle potenze di un suo ideale I, detta topologia I-adica. Un anello che coincide col suo completamento rispetto ad I è detto I-completo, o semplicemente completo se A è locale e I=M è il suo ideale massimale.

Il completamento di un anello è generalmente utilizzato quando A è un anello noetheriano locale (con ideale massimale M), e in cui la topologia è quella M-adica.

Esempi di anelli completi sono l'insieme dei numeri p-adici (completamento di rispetto all'ideale ) e l'anello delle serie formali su un campo K (completamento dell'anello dei polinomi rispetto all'ideale generato da x).

Costruzione[modifica | modifica wikitesto]

Vi sono due costruzioni del completamento di un anello A: la prima topologica, la seconda algebrica.

La prima si fonda sul concetto di topologia I-adica, dove I è un ideale di A: essa è la topologia generata dalle potenze di I (il cui insieme è un sistema fondamentale di intorni di 0) e da tutti gli insiemi (per ), questi ultimi aggiunti in modo da rendere A un anello topologico. Su questa topologia si possono definire le successioni di Cauchy (e la loro equivalenza) e quindi definire come l'insieme delle successione di Cauchy quozientato per equivalenza.

La seconda fa uso della nozione di limite inverso: dal momento che , è sempre possibile definire degli omomorfismi di anelli canonici ; all'interno del prodotto diretto , il completamento è identificato come l'insieme delle successioni coerenti, ovvero delle successioni tali che .

Rispetto alla prima definizione, la seconda ha il vantaggio di poter dedurre alcune proprietà (ad esempio quelle omologiche) a partire da quelle dei quozienti ; tuttavia, rende più complesso capire quando due ideali I e J danno origine allo stesso (ovvero quando il completamento I-adico e quello J-adico sono isomorfi). La soluzione di questo problema è invece implicita nella definizione topologica, in quanto I e J determinano lo stesso completamento se e solo se definiscono la stessa topologia.

Entrambe queste costruzioni possono essere estese ai moduli su A: il completamento I-adico di un modulo E può essere definito come il completamento rispetto alla topologia generata dai sottomoduli (e ) oppure come il limite inverso della successione . Il completamento ha, inoltre, una struttura naturale di -modulo.

Omomorfismi[modifica | modifica wikitesto]

Per ogni anello A esiste un omomorfismo canonico che manda ogni elemento a nella successione che vale costantemente a o, nella definizione algebrica, nell'elemento . Tuttavia, tale omomorfismo non è sempre iniettivo, ovvero non sempre un anello è contenuto nel suo completamento: il nucleo di è esattamente l'intersezione , e questa è l'ideale nullo se e solo se la topologia I-adica è di Hausdorff. Analogamente, se E è un A-modulo, si può definire una mappa , il cui nucleo è . Queste mappe sono sempre continue.

Nel caso noetheriano, tale nucleo è caratterizzato dal teorema dell'intersezione di Krull: è costituito da tutti gli elementi per cui esiste un tale che . In questo caso, il nucleo coincide anche con il nucleo dell'omomorfismo di localizzazione , dove ; di conseguenza c'è sempre un omomorfismo iniettivo .

Due casi di particolare importanza sono quando I è contenuto nel radicale di Jacobson di A (ad esempio se A è locale e M è il suo ideale massimale), e quando A è un dominio d'integrità: in entrambi i casi, il teorema garantisce che e quindi l'omomorfismo è iniettivo.

Omomorfismi di moduli[modifica | modifica wikitesto]

Dal momento che la mappa è sempre continua nella topologia I-adica, è possibile definire, a partire da un qualunque omomorfismo di A-moduli un omomorfismo . Se A è noetheriano, il passaggio da a preserva le successioni esatte di moduli finiti; ovvero, se

è esatta ed , e sono finitamente generati, allora è esatta anche

Nel linguaggio della teoria delle categorie, il funtore è esatto nella categoria dei moduli finitamente generati.

Se inoltre E è finitamente generato, allora è isomorfo al prodotto tensoriale e, di conseguenza, è un A-modulo piatto. Se E non è finitamente generato, c'è sempre un omomorfismo suriettivo , che tuttavia non è necessariamente un isomorfismo.

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Il passaggio da un anello locale A al suo completamento M-adico conserva alcune proprietà. Se A è noetheriano, allora è ancora noetheriano e locale, e ha la stessa dimensione di A. Inoltre, se I è un ideale di A, allora la sua estensione ad è esattamente il completamento di I (visto come A-modulo) nella topologia M-adica; in particolare, l'ideale massimale di è l'estensione dell'ideale massimale di A.

Altre proprietà, invece, non si comportano altrettanto bene: ad esempio, se A è ridotto (ovvero non ha nilpotenti), integro o integralmente chiuso, non è detto che conservi tali caratteristiche.

Un'importante proprietà degli anelli completi è che essi verificano il lemma di Hensel, un analogo algebrico del metodo di Newton per approssimare le soluzioni di equazioni polinomiali: in una delle sue forme, esso afferma che, se f(x) è un polinomio a coefficienti in A e a è tale che f(a) è contenuto in (f' indica la derivata formale di f) allora esiste uno zero b di f tale che ; tale b è unico se non è un divisore dello zero. Come caso particolare, se e è invertibile, allora esiste (ed è unico) uno zero b di f tale che .

Teorema di struttura[modifica | modifica wikitesto]

Il teorema di struttura di Cohen classifica gli anelli completi noetheriani come immagini omomorfe di anelli di serie formali; è stato dimostrato da Irvin Cohen nel 1946.[1]

Esso afferma che, dato un anello noetheriano completo A con ideale massimale M e campo residuo , allora:

  • se la caratteristica di A è uguale a quella di K (o, equivalentemente, se A contiene un campo k), allora A è isomorfo a , dove I è un ideale di ;
  • se le caratteristiche di A e di K sono diverse allora esiste un dominio di valutazione discreta completo W tale che A è isomorfo a , dove p genera l'ideale massimale di W e m è un intero non negativo (se m = 0, ).

In entrambi i casi, d può essere preso uguale al numero di generatori dell'ideale massimale M di A.

È da notare che, nel primo caso, le ipotesi del teorema non richiedono che A contenga il proprio campo residuo: ad esempio, se A contiene l'insieme dei numeri razionali e il suo campo residuo è , allora il teorema garantisce che A contenga anche . In effetti, la parte più lunga e complessa della dimostrazione è quella che deduce, a partire dall'inclusione di k in A, anche la presenza di K.

In particolare, se la caratteristica di A è un numero primo p, allora A contiene il campo finito , e quindi A contiene anche il suo campo residuo.

Nel caso in cui A sia anche regolare, il numero di generatori di M è uguale alla dimensione dell'anello; da questo si deduce che

  • se la caratteristica di A e quella di K sono uguali, allora I deve essere l'ideale nullo e ;
  • se la caratteristica di A e quella di K sono diverse, allora (se p è la caratteristica di K)
    • se allora
    • se allora , dove f è un elemento primo di

Alcuni risultati della teoria degli anelli regolari possono essere dimostrati a partire da questo teorema, riducendosi al caso completo (spesso sfruttando la piattezza del completamento).

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ (EN) Irvin Cohen, On the structure and ideal theory of complete local rings, in Transactions of the American Mathematical Society, vol. 59, nº 1, 1946, pp. 54-106, DOI:10.1090/S0002-9947-1946-0016094-3. URL consultato il 25 aprile 2012.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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