Completamento di un anello

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In matematica, il completamento di un anello è un'operazione che permette di ottenere, a partire da un anello A, un altro anello \hat{A} con proprietà in generale "migliori", allo stesso modo con cui uno spazio metrico può essere completato; lo stesso nome "completamento" deriva dal fatto che tale operazione può essere vista come completamento di A rispetto alla topologia definita dalle potenze di un suo ideale I, detta topologia I-adica. Un anello che coincide col suo completamento rispetto ad I è detto I-completo, o semplicemente completo se A è locale e I=M è il suo ideale massimale.

Il completamento di un anello è generalmente utilizzato quando A è un anello noetheriano locale (con ideale massimale M), e in cui la topologia è quella M-adica.

Esempi di anelli completi sono l'insieme \mathbb{Z}_{(p)} dei numeri p-adici (completamento di \mathbb{Z} rispetto all'ideale p\mathbb{Z}) e l'anello delle serie formali K[[x]] su un campo K (completamento dell'anello dei polinomi K[x] rispetto all'ideale generato da x).

Costruzione[modifica | modifica sorgente]

Vi sono due costruzioni del completamento \hat{A} di un anello A: la prima topologica, la seconda algebrica.

La prima si fonda sul concetto di topologia I-adica, dove I è un ideale di A: essa è la topologia generata dalle potenze I^n di I (il cui insieme è un sistema fondamentale di intorni di 0) e da tutti gli insiemi a+I^n (per a\in A), questi ultimi aggiunti in modo da rendere A un anello topologico. Su questa topologia si possono definire le successioni di Cauchy (e la loro equivalenza) e quindi definire \hat{A} come l'insieme delle successione di Cauchy quozientato per equivalenza.

La seconda fa uso della nozione di limite inverso: dal momento che I^{n+1}\subseteq I^n, è sempre possibile definire degli omomorfismi di anelli canonici \theta_n:A/I^{n+1}\longrightarrow A/I^n; all'interno del prodotto diretto \Pi_n A/I^n, il completamento \hat{A} è identificato come l'insieme delle successioni coerenti, ovvero delle successioni (x_n) tali che \theta_{n+1}(x_{n+1})=x_n.

Rispetto alla prima definizione, la seconda ha il vantaggio di poter dedurre alcune proprietà (ad esempio quelle omologiche) a partire da quelle dei quozienti A/I^n; tuttavia, rende più complesso capire quando due ideali I e J danno origine allo stesso \hat{A} (ovvero quando il completamento I-adico e quello J-adico sono isomorfi). La soluzione di questo problema è invece implicita nella definizione topologica, in quanto I e J determinano lo stesso completamento se e solo se definiscono la stessa topologia.

Entrambe queste costruzioni possono essere estese ai moduli su A: il completamento I-adico di un modulo E può essere definito come il completamento rispetto alla topologia generata dai sottomoduli I^nE (e m+I^nE) oppure come il limite inverso della successione (E/I^n). Il completamento \hat{E} ha, inoltre, una struttura naturale di \hat{A}-modulo.

Omomorfismi[modifica | modifica sorgente]

Per ogni anello A esiste un omomorfismo canonico \phi:A\longrightarrow\hat{A} che manda ogni elemento a nella successione che vale costantemente a o, nella definizione algebrica, nell'elemento (a+I,a+I^2,\ldots,a+I^n,\ldots). Tuttavia, tale omomorfismo non è sempre iniettivo, ovvero non sempre un anello è contenuto nel suo completamento: il nucleo di \phi è esattamente l'intersezione \bigcap_{n=1}^\infty I^n, e questa è l'ideale nullo se e solo se la topologia I-adica è di Hausdorff. Analogamente, se E è un A-modulo, si può definire una mappa \phi_E:E\longrightarrow\hat{E}, il cui nucleo è \bigcap_{n=1}^\infty I^nE. Queste mappe sono sempre continue.

Nel caso noetheriano, tale nucleo è caratterizzato dal teorema dell'intersezione di Krull: \bigcap_{n=1}^\infty I^nE è costituito da tutti gli elementi e\in E per cui esiste un i\in I tale che (1+i)e=0. In questo caso, il nucleo coincide anche con il nucleo dell'omomorfismo di localizzazione M\longrightarrow S^{-1}M, dove S=1+I; di conseguenza c'è sempre un omomorfismo iniettivo S^{-1}M\longrightarrow\hat{M}.

Due casi di particolare importanza sono quando I è contenuto nel radicale di Jacobson di A (ad esempio se A è locale e M è il suo ideale massimale), e quando A è un dominio d'integrità: in entrambi i casi, il teorema garantisce che \bigcap_{n=1}^\infty I^n=(0) e quindi l'omomorfismo \phi:A\longrightarrow\hat{A} è iniettivo.

Omomorfismi di moduli[modifica | modifica sorgente]

Dal momento che la mappa \phi_E:E\longrightarrow\hat{E} è sempre continua nella topologia I-adica, è possibile definire, a partire da un qualunque omomorfismo di A-moduli \psi:E\longrightarrow F un omomorfismo \hat{\psi}:\hat{E}\longrightarrow\hat{F}. Se A è noetheriano, il passaggio da \psi a \hat{\psi} preserva le successioni esatte di moduli finiti; ovvero, se

0\longrightarrow E\longrightarrow F\longrightarrow G\longrightarrow 0

è esatta ed E, F e G sono finitamente generati, allora è esatta anche

0\longrightarrow \hat{E}\longrightarrow \hat{F}\longrightarrow \hat{G}\longrightarrow 0.

Nel linguaggio della teoria delle categorie, il funtore M\mapsto\hat{M} è esatto nella categoria dei moduli finitamente generati.

Se inoltre E è finitamente generato, allora \hat{E} è isomorfo al prodotto tensoriale \hat{A}\otimes_A E e, di conseguenza, \hat{A} è un A-modulo piatto. Se E non è finitamente generato, c'è sempre un omomorfismo suriettivo \hat{A}\otimes_A E\longrightarrow\hat{E}, che tuttavia non è necessariamente un isomorfismo.

Proprietà[modifica | modifica sorgente]

Il passaggio da un anello locale A al suo completamento M-adico \hat{A} conserva alcune proprietà. Se A è noetheriano, allora \hat{A} è ancora noetheriano e locale, e ha la stessa dimensione di A. Inoltre, se I è un ideale di A, allora la sua estensione ad \hat{A} è esattamente il completamento di I (visto come A-modulo) nella topologia M-adica; in particolare, l'ideale massimale di \hat{A} è l'estensione dell'ideale massimale di A.

Altre proprietà, invece, non si comportano altrettanto bene: ad esempio, se A è ridotto (ovvero non ha nilpotenti), integro o integralmente chiuso, non è detto che \hat{A} conservi tali caratteristiche.

Un'importante proprietà degli anelli completi è che essi verificano il lemma di Hensel, un analogo algebrico del metodo di Newton per approssimare le soluzioni di equazioni polinomiali: in una delle sue forme, esso afferma che, se f(x) è un polinomio a coefficienti in A e a è tale che f(a) è contenuto in f'(a)^2M (f' indica la derivata formale di f) allora esiste uno zero b di f tale che b \equiv a \bmod{f'(a)M}; tale b è unico se f'(a) non è un divisore dello zero. Come caso particolare, se f(a)\in M e f'(a) è invertibile, allora esiste (ed è unico) uno zero b di f tale che a\equiv b\bmod M.

Teorema di struttura[modifica | modifica sorgente]

Il teorema di struttura di Cohen classifica gli anelli completi noetheriani come immagini omomorfe di anelli di serie formali; è stato dimostrato da Irvin Cohen nel 1946.[1]

Esso afferma che, dato un anello noetheriano completo A con ideale massimale M e campo residuo K=A/M, allora:

  • se la caratteristica di A è uguale a quella di K (o, equivalentemente, se A contiene un campo k), allora A è isomorfo a \frac{K[[x_1,\ldots,x_d]]}{I}, dove I è un ideale di K[[x_1,\ldots,x_d]];
  • se le caratteristiche di A e di K sono diverse allora esiste un dominio di valutazione discreta completo W tale che A è isomorfo a \frac{\left(\frac{W}{p^mW}\right)[[x_1,\ldots,x_d]]}{I}, dove p genera l'ideale massimale di W e m è un intero non negativo (se m = 0, \frac{W}{p^mW}=W).

In entrambi i casi, d può essere preso uguale al numero di generatori dell'ideale massimale M di A.

È da notare che, nel primo caso, le ipotesi del teorema non richiedono che A contenga il proprio campo residuo: ad esempio, se A contiene l'insieme \mathbb{Q} dei numeri razionali e il suo campo residuo è \mathbb{R}, allora il teorema garantisce che A contenga anche \mathbb{R}. In effetti, la parte più lunga e complessa della dimostrazione è quella che deduce, a partire dall'inclusione di k in A, anche la presenza di K.

In particolare, se la caratteristica di A è un numero primo p, allora A contiene il campo finito \mathbb{F}_p, e quindi A contiene anche il suo campo residuo.

Nel caso in cui A sia anche regolare, il numero di generatori di M è uguale alla dimensione dell'anello; da questo si deduce che

  • se la caratteristica di A e quella di K sono uguali, allora I deve essere l'ideale nullo e A\simeq K[[x_1,\ldots,x_d]];
  • se la caratteristica di A e quella di K sono diverse, allora (se p è la caratteristica di K)

Alcuni risultati della teoria degli anelli regolari possono essere dimostrati a partire da questo teorema, riducendosi al caso completo (spesso sfruttando la piattezza del completamento).

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ (EN) Irvin Cohen, On the structure and ideal theory of complete local rings in Transactions of the American Mathematical Society, vol. 59, n. 1, 1946, pp. 54-106. DOI:10.1090/S0002-9947-1946-0016094-3. URL consultato il 25 aprile 2012.

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]

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