Completamento di un anello

In matematica, il completamento di un anello è un'operazione che permette di ottenere, a partire da un anello A, un altro anello ${\hat {A}}$ con proprietà in generale "migliori", allo stesso modo con cui uno spazio metrico può essere completato; lo stesso nome "completamento" deriva dal fatto che tale operazione può essere vista come completamento di A rispetto alla topologia definita dalle potenze di un suo ideale I, detta topologia I-adica. Un anello che coincide col suo completamento rispetto ad I è detto I-completo, o semplicemente completo se A è locale e I=M è il suo ideale massimale.

Il completamento di un anello è generalmente utilizzato quando A è un anello noetheriano locale (con ideale massimale M), e in cui la topologia è quella M-adica.

Esempi di anelli completi sono l'insieme $\mathbb {Z} _{(p)}$ dei numeri p-adici (completamento di $\mathbb {Z}$ rispetto all'ideale $p\mathbb {Z}$) e l'anello delle serie formali $K[[x]]$ su un campo K (completamento dell'anello dei polinomi $K[x]$ rispetto all'ideale generato da x).

Costruzione

Vi sono due costruzioni del completamento ${\hat {A}}$ di un anello A: la prima topologica, la seconda algebrica.

La prima si fonda sul concetto di topologia I-adica, dove I è un ideale di A: essa è la topologia generata dalle potenze $I^{n}$ di I (il cui insieme è un sistema fondamentale di intorni di 0) e da tutti gli insiemi $a+I^{n}$ (per $a\in A$), questi ultimi aggiunti in modo da rendere A un anello topologico. Su questa topologia si possono definire le successioni di Cauchy (e la loro equivalenza) e quindi definire ${\hat {A}}$ come l'insieme delle successioni di Cauchy quozientato per equivalenza.

La seconda fa uso della nozione di limite inverso: dal momento che $I^{n+1}\subseteq I^{n}$, è sempre possibile definire degli omomorfismi di anelli canonici $\theta _{n}:A/I^{n+1}\longrightarrow A/I^{n}$; all'interno del prodotto diretto $\Pi _{n}A/I^{n}$, il completamento ${\hat {A}}$ è identificato come l'insieme delle successioni coerenti, ovvero delle successioni $(x_{n})$ tali che $\theta _{n+1}(x_{n+1})=x_{n}$.

Rispetto alla prima definizione, la seconda ha il vantaggio di poter dedurre alcune proprietà (ad esempio quelle omologiche) a partire da quelle dei quozienti $A/I^{n}$; tuttavia, rende più complesso capire quando due ideali I e J danno origine allo stesso ${\hat {A}}$ (ovvero quando il completamento I-adico e quello J-adico sono isomorfi). La soluzione di questo problema è invece implicita nella definizione topologica, in quanto I e J determinano lo stesso completamento se e solo se definiscono la stessa topologia.

Entrambe queste costruzioni possono essere estese ai moduli su A: il completamento I-adico di un modulo E può essere definito come il completamento rispetto alla topologia generata dai sottomoduli $I^{n}E$ (e $m+I^{n}E$) oppure come il limite inverso della successione $(E/I^{n})$. Il completamento ${\hat {E}}$ ha, inoltre, una struttura naturale di ${\hat {A}}$-modulo.

Omomorfismi

Per ogni anello A esiste un omomorfismo canonico $\phi :A\longrightarrow {\hat {A}}$ che manda ogni elemento a nella successione che vale costantemente a o, nella definizione algebrica, nell'elemento $(a+I,a+I^{2},\ldots ,a+I^{n},\ldots )$. Tuttavia, tale omomorfismo non è sempre iniettivo, ovvero non sempre un anello è contenuto nel suo completamento: il nucleo di $\phi$ è esattamente l'intersezione $\bigcap _{n=1}^{\infty }I^{n}$, e questa è l'ideale nullo se e solo se la topologia I-adica è di Hausdorff. Analogamente, se E è un A-modulo, si può definire una mappa $\phi _{E}:E\longrightarrow {\hat {E}}$, il cui nucleo è $\bigcap _{n=1}^{\infty }I^{n}E$. Queste mappe sono sempre continue.

Nel caso noetheriano, tale nucleo è caratterizzato dal teorema dell'intersezione di Krull: $\bigcap _{n=1}^{\infty }I^{n}E$ è costituito da tutti gli elementi $e\in E$ per cui esiste un $i\in I$ tale che $(1+i)e=0$. In questo caso, il nucleo coincide anche con il nucleo dell'omomorfismo di localizzazione $M\longrightarrow S^{-1}M$, dove $S=1+I$; di conseguenza c'è sempre un omomorfismo iniettivo $S^{-1}M\longrightarrow {\hat {M}}$.

Due casi di particolare importanza sono quando I è contenuto nel radicale di Jacobson di A (ad esempio se A è locale e M è il suo ideale massimale), e quando A è un dominio d'integrità: in entrambi i casi, il teorema garantisce che $\bigcap _{n=1}^{\infty }I^{n}=(0)$ e quindi l'omomorfismo $\phi :A\longrightarrow {\hat {A}}$ è iniettivo.

Omomorfismi di moduli

Dal momento che la mappa $\phi _{E}:E\longrightarrow {\hat {E}}$ è sempre continua nella topologia I-adica, è possibile definire, a partire da un qualunque omomorfismo di A-moduli $\psi :E\longrightarrow F$ un omomorfismo ${\hat {\psi }}:{\hat {E}}\longrightarrow {\hat {F}}$. Se A è noetheriano, il passaggio da $\psi$ a ${\hat {\psi }}$ preserva le successioni esatte di moduli finiti; ovvero, se

$0\longrightarrow E\longrightarrow F\longrightarrow G\longrightarrow 0$

è esatta ed $E$, $F$ e $G$ sono finitamente generati, allora è esatta anche

$0\longrightarrow {\hat {E}}\longrightarrow {\hat {F}}\longrightarrow {\hat {G}}\longrightarrow 0.$

Nel linguaggio della teoria delle categorie, il funtore $M\mapsto {\hat {M}}$ è esatto nella categoria dei moduli finitamente generati.

Se inoltre E è finitamente generato, allora ${\hat {E}}$ è isomorfo al prodotto tensoriale ${\hat {A}}\otimes _{A}E$ e, di conseguenza, ${\hat {A}}$ è un A-modulo piatto. Se E non è finitamente generato, c'è sempre un omomorfismo suriettivo ${\hat {A}}\otimes _{A}E\longrightarrow {\hat {E}}$, che tuttavia non è necessariamente un isomorfismo.

Proprietà

Il passaggio da un anello locale A al suo completamento M-adico ${\hat {A}}$ conserva alcune proprietà. Se A è noetheriano, allora ${\hat {A}}$ è ancora noetheriano e locale, e ha la stessa dimensione di A. Inoltre, se I è un ideale di A, allora la sua estensione ad ${\hat {A}}$ è esattamente il completamento di I (visto come A-modulo) nella topologia M-adica; in particolare, l'ideale massimale di ${\hat {A}}$ è l'estensione dell'ideale massimale di A.

Altre proprietà, invece, non si comportano altrettanto bene: ad esempio, se A è ridotto (ovvero non ha nilpotenti), integro o integralmente chiuso, non è detto che ${\hat {A}}$ conservi tali caratteristiche.

Un'importante proprietà degli anelli completi è che essi verificano il lemma di Hensel, un analogo algebrico del metodo di Newton per approssimare le soluzioni di equazioni polinomiali: in una delle sue forme, esso afferma che, se f(x) è un polinomio a coefficienti in A e a è tale che f(a) è contenuto in $f'(a)^{2}M$ (f' indica la derivata formale di f) allora esiste uno zero b di f tale che $b\equiv a{\bmod {f'(a)M}}$; tale b è unico se $f'(a)$ non è un divisore dello zero. Come caso particolare, se $f(a)\in M$ e $f'(a)$ è invertibile, allora esiste (ed è unico) uno zero b di f tale che $a\equiv b{\bmod {M}}$.

Teorema di struttura

Il teorema di struttura di Cohen classifica gli anelli completi noetheriani come immagini omomorfe di anelli di serie formali; è stato dimostrato da Irvin Cohen nel 1946.

Esso afferma che, dato un anello noetheriano completo A con ideale massimale M e campo residuo $K=A/M$, allora:

• se la caratteristica di A è uguale a quella di K (o, equivalentemente, se A contiene un campo k), allora A è isomorfo a ${\frac {K[[x_{1},\ldots ,x_{d}]]}{I}}$, dove I è un ideale di $K[[x_{1},\ldots ,x_{d}]]$;
• se le caratteristiche di A e di K sono diverse allora esiste un dominio di valutazione discreta completo W tale che A è isomorfo a ${\frac {\left({\frac {W}{p^{m}W}}\right)[[x_{1},\ldots ,x_{d}]]}{I}}$, dove p genera l'ideale massimale di W e m è un intero non negativo (se m = 0, ${\frac {W}{p^{m}W}}=W$).

In entrambi i casi, d può essere preso uguale al numero di generatori dell'ideale massimale M di A.

È da notare che, nel primo caso, le ipotesi del teorema non richiedono che A contenga il proprio campo residuo: ad esempio, se A contiene l'insieme $\mathbb {Q}$ dei numeri razionali e il suo campo residuo è $\mathbb {R}$, allora il teorema garantisce che A contenga anche $\mathbb {R}$. In effetti, la parte più lunga e complessa della dimostrazione è quella che deduce, a partire dall'inclusione di k in A, anche la presenza di K.

In particolare, se la caratteristica di A è un numero primo p, allora A contiene il campo finito $\mathbb {F} _{p}$, e quindi A contiene anche il suo campo residuo.

Nel caso in cui A sia anche regolare, il numero di generatori di M è uguale alla dimensione dell'anello; da questo si deduce che

• se la caratteristica di A e quella di K sono uguali, allora I deve essere l'ideale nullo e $A\simeq K[[x_{1},\ldots ,x_{d}]]$;
• se la caratteristica di A e quella di K sono diverse, allora (se p è la caratteristica di K)
  • se $p\notin M^{2}$ allora $A\simeq W[[x_{1},\ldots ,x_{d-1}]]$
  • se $p\in M^{2}$ allora $A\simeq W[[x_{1},\ldots ,x_{d}]]/(f)$, dove f è un elemento primo di $W[[x_{1},\ldots ,x_{d}]]$

Alcuni risultati della teoria degli anelli regolari possono essere dimostrati a partire da questo teorema, riducendosi al caso completo (spesso sfruttando la piattezza del completamento).

Bibliografia

• (EN) Michael Atiyah e Ian G. Macdonald, Introduction to Commutative Algebra, Westview Press, 1969, ISBN 0-201-40751-5.
• (EN) David Eisenbud, Commutative algebra with a view toward algebraic geometry, Springer-Verlag, 1995, ISBN 0-387-94268-8.

Collegamenti esterni

• (EN) Balwant Singh, Completion, formal smoothness and Cohen structure theorems