Teorema dell'ideale principale

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In matematica, il teorema dell'ideale principale (a volte citato, in tedesco, come Hauptidealsatz) è un teorema di algebra commutativa che stabilisce un'importante proprietà degli anelli commutativi noetheriani.

È stato dimostrato da Wolfgang Krull nel 1928.[1]

Enunciato e forme generali[modifica | modifica wikitesto]

L'altezza di un ideale primo P è l'estremo superiore n della lunghezza delle catene di ideali primi

discendenti da P; un primo minimale su un ideale I è un ideale primo P tale che non esiste alcun primo Q tale che .

Nella sua forma basilare, il teorema afferma che se x è un elemento di un anello noetheriano A e P un primo minimale sull'ideale principale (x), allora l'altezza di P è 0 oppure 1; in particolare, se x è nilpotente l'altezza è 0, mentre se x non è un divisore dello zero allora l'altezza è 1.

Il teorema può essere generalizzato ad ideali non principali: se I è un ideale generato da n elementi e P un primo minimale su I, allora l'altezza di P è al più n. Tale enunciato è detto teorema dell'altezza.

Un'ulteriore generalizzazione riguarda il rapporto con gli anelli quoziente: essa afferma che, se I è generato da n elementi, P è un primo minimale su I e l'altezza di P/I in R/I è k, allora l'altezza di P in R è al più n+k.

È valido anche un viceversa di questi due teoremi: se P è un ideale primo di altezza n, allora esiste un ideale I generato da n elementi tale che P è minimo su I.

Il teorema non è valido se l'anello non è noetheriano: ad esempio, se A è un anello di valutazione, gli ideali sono linearmente ordinati; di conseguenza, se la dimensione di A è maggiore di 1, per ogni ideale primo non massimale esistono elementi x tali che P è contenuto in (x): in questo caso, l'altezza dei primi minimali su (x) sarà maggiore dell'altezza di P.

Conseguenze[modifica | modifica wikitesto]

Il teorema dell'ideale principale e la sua generalizzazione hanno diverse conseguenze. La prima è che, se P è un ideale primo generato da p1, ..., pn, allora P stesso ha altezza al più n; quindi ogni ideale primo in un anello noetheriano ha altezza finita. Ne segue che la dimensione di un anello locale noetheriano è finita, in quanto è uguale all'altezza del suo ideale massimale.

Il teorema dell'ideale principale permette di dimostrare che, se sono ideali primi tali che esiste un altro ideale primo contenuto propriamente tra di loro, allora ne esistono infiniti altri; e che se A è noetheriano allora la dimensione dell'anello dei polinomi A[X] è uguale a .

Ulteriori conseguenze sono alcune proprietà di stabilità degli anelli di Cohen-Macaulay.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Krull biography, su The MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews. URL consultato il 18 dicembre 2010.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

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