Lemma di normalizzazione di Noether

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In matematica, il lemma di normalizzazione di Noether è un teorema dell'algebra commutativa, che afferma che ogni K-algebra finitamente generata (dove K è un campo) è un'estensione intera di un anello di polinomi su K.

Prende nome da Emmy Noether, che nel 1926 lo dimostrò sotto l'ipotesi che K fosse infinito. Il caso in cui K è un campo finito fu dimostrato da Oscar Zariski nel 1943.

Enunciato e dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Sia K un campo e A un'algebra su K; sia d la dimensione di A. Allora esistono d elementi y_1,\ldots,y_d\in A, algebricamente indipendenti, tali che l'estensione K[y_1,\ldots,y_d]\subseteq A è intera. Se inoltre A è un dominio d'integrità, allora d è anche il grado di trascendenza del campo dei quozienti di A su K.

Se A è un anello graduato, allora gli elementi y_1,\ldots,y_d possono essere scelti omogenei.

L'idea della dimostrazione è di rappresentare A come quoziente di un anello di polinomi K[X_1,\ldots,X_n] per un suo ideale I, e di procedere per induzione su n. Il passo induttivo è provato scegliendo un polinomio P(X_1,\ldots,X_n)\in I, e cercando poi un cambiamento di variabili Y_i=f_i(X_i) che renda P un polinomio monico in X_n, in modo che l'immagine x_n di X_n in A sia intera sulle immagini degli Y_i.

Se K è infinito, è sempre possibile trovare un \lambda\in K tale che la trasformazione Y_i=X_i-\lambda X_n (per 1\leq i\leq n-1) abbia le proprietà cercate; se K è finito, invece, è necessario considerare la trasformazione Y_i=X_i+X_i^{m_i}, per degli interi m_i scelti opportunamente.

Conseguenze e interpretazione geometrica[modifica | modifica wikitesto]

L'utilità del lemma di Noether spesso si manifesta nella possibilità di "spezzare" lo studio delle proprietà di una K-algebra A in un'estensione puramente trascendente K\subseteq K[y_1,\ldots,y_d] e un'estensione intera K[y_1,\ldots,y_d]\subseteq A, entrambe le quali possono essere studiate più facilmente di un'estensione arbitraria. Ad esempio, attraverso questo metodo è possibile dimostrare che se \phi:A\longrightarrow B è un omomorfismo di K-algebre finitamente generate e locali, allora \phi è un omomorfismo locale, ovvero \phi(M)B\neq B, dove M è l'ideale massimale di A.

Un'altra importante conseguenza del lemma di Noether è che ogni catena di ideali primi di A può essere raffinata ad una catena massimale di lunghezza d (dove d è sempre la dimensione di A); in particolare, su P è un ideale primo, allora \dim A=\dim A_P+\dim A/P. Ad esempio, se f è un elemento di A e non è un divisore dello zero, l'anello A/(f) ha dimensione \dim A-1.

Il lemma di Noether può anche essere utilizzato per dimostrare il teorema degli zeri di Hilbert.

Geometricamente, il lemma di Noether può essere interpretato in termini di mappe tra varietà affini: in questo contesto afferma che, se X è una varietà affine di dimensione d, allora esiste una mappa finita \psi:X\longrightarrow\mathbb{A}^d (dove \mathbb{A}^d è lo spazio affine d-dimensionale).

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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