Lemma di normalizzazione di Noether

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In matematica, il lemma di normalizzazione di Noether è un teorema dell'algebra commutativa, che afferma che ogni -algebra finitamente generata (dove è un campo) è un'estensione intera di un anello di polinomi su .

Prende nome da Emmy Noether, che nel 1926 lo dimostrò sotto l'ipotesi che fosse infinito. Il caso in cui è un campo finito fu dimostrato da Oscar Zariski nel 1943.

Enunciato e dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Sia un campo e un'algebra su ; sia la dimensione di . Allora esistono elementi , algebricamente indipendenti, tali che l'estensione è intera. Se inoltre è un dominio d'integrità, allora è anche il grado di trascendenza del campo dei quozienti di su .

Se è un anello graduato, allora gli elementi possono essere scelti omogenei.

L'idea della dimostrazione è di rappresentare come quoziente di un anello di polinomi per un suo ideale , e di procedere per induzione su . Il passo induttivo è provato scegliendo un polinomio , e cercando poi un cambiamento di variabili che renda un polinomio monico in , in modo che l'immagine di in sia intera sulle immagini degli .

Se è infinito, è sempre possibile trovare un tale che la trasformazione (per ) abbia le proprietà cercate; se è finito, invece, è necessario considerare la trasformazione , per degli interi scelti opportunamente.

Conseguenze e interpretazione geometrica[modifica | modifica wikitesto]

L'utilità del lemma di Noether spesso si manifesta nella possibilità di "spezzare" lo studio delle proprietà di una -algebra in un'estensione puramente trascendente e un'estensione intera , entrambe le quali possono essere studiate più facilmente di un'estensione arbitraria. Ad esempio, attraverso questo metodo è possibile dimostrare che se è un omomorfismo di -algebre finitamente generate e locali, allora è un omomorfismo locale, ovvero , dove è l'ideale massimale di .

Un'altra importante conseguenza del lemma di Noether è che ogni catena di ideali primi di può essere raffinata ad una catena massimale di lunghezza (dove è sempre la dimensione di ); in particolare, su è un ideale primo, allora . Ad esempio, se è un elemento di e non è un divisore dello zero, l'anello ha dimensione .

Il lemma di Noether può anche essere utilizzato per dimostrare il teorema degli zeri di Hilbert.

Geometricamente, il lemma di Noether può essere interpretato in termini di mappe tra varietà affini: in questo contesto afferma che, se è una varietà affine di dimensione , allora esiste una mappa finita (dove è lo spazio affine -dimensionale).

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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