Modulo libero

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In matematica, un modulo libero è un modulo particolarmente simile ad uno spazio vettoriale; più precisamente, se è un anello, un -modulo è libero se ha una base, ovvero un insieme di elementi linearmente indipendenti che lo genera.

Nel linguaggio della teoria delle categorie, i moduli liberi sono gli oggetti liberi della categoria degli -moduli.

Definizione e basi[modifica | modifica wikitesto]

Sia un anello e un modulo su . è libero se esiste un insieme di elementi di tali che:

  • genera : ogni elemento di può essere scritto come combinazione lineare (finita) di elementi di , ossia per ogni in esistono ed tali che ;
  • è linearmente indipendente: se esistono ed tali che , allora tutti gli sono uguali a 0.

Mentre ogni modulo possiede un insieme di generatori (ad esempio si può prendere stesso), l'indipendenza lineare è una proprietà molto più stringente: esistono ad esempio moduli in cui nessun insieme non vuoto è linearmente indipendente, come lo -modulo delle classi di resto modulo .

Se è un campo, gli -moduli sono gli spazi vettoriali, e ognuno di essi ha una base: di conseguenza tutti gli -moduli sono liberi. Vale anche il viceversa: se tutti gli -moduli sono liberi, e è commutativo, allora è un campo; lasciando cadere l'ipotesi di commutatività, deve essere un corpo.

Nei moduli liberi, gli elementi della base si comportano come coordinate: segue infatti dall'indipendenza lineare che l'espressione di ogni elemento come combinazione degli elementi della base è unica. Di conseguenza, un modulo libero è la somma diretta di copie di .

Un particolare modulo libero è l'anello stesso. Se è unitario, ha come base (è quindi anche ciclico).

Se è libero, non ha un'unica base; in generale, neppure la cardinalità della base è univocamente determinata. Questa quantità è invariante però per tutti gli anelli commutativi[1] e per tutti gli anelli noetheriani;[2] in particolare si ottiene che la dimensione degli spazi vettoriali è ben definita. Essa viene detta rango del modulo libero.

Proprietà universale[modifica | modifica wikitesto]

Si può caratterizzare "il" modulo libero generato da un insieme (unico a meno di isomorfismo unico) tramite una proprietà universale. Dato un insieme , un -modulo libero generato da è un modulo che contiene e tale che, per ogni -modulo e per ogni morfismo di insiemi , rimanga determinato uno e un solo omomorfismo di moduli tale che . L'omomorfismo viene definito sfruttando il fatto, equivalente al fatto che sia libero su , che ogni elemento di si scrive in modo unico come combinazione lineare di elementi di . Se , si pone

Costruzione[modifica | modifica wikitesto]

A partire da un insieme arbitrario , è possibile costruire un -modulo libero che ha come base: considerando tutte le combinazioni lineari formali , per qualsiasi sottoinsieme finito e qualsiasi ; l'addizione e la moltiplicazione scalare vengono poi definiti termine a termine.

A partire da questo si può dimostrare che ogni modulo è quoziente di un modulo libero: dato infatti un insieme di generatori per (ad esempio stesso), si può formare il modulo libero su , e considerare il sottomodulo generato dalle relazioni tra elementi di (ad esempio, se , allora sarà contenuto in ). Il quoziente risulta isomorfo a .

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Somme e prodotti di moduli liberi sono ancora liberi; lo stesso vale per il prodotto tensoriale di due moduli liberi.

Tutti i moduli liberi sono proiettivi e piatti; unito al fatto che ogni modulo è quoziente di un modulo libero, questo dimostra che ogni modulo ha una risoluzione proiettiva. Al contrario, è raro che i moduli liberi siano iniettivi: ad esempio, se è commutativo e locale, stesso (considerato come -modulo) può essere iniettivo solo se la sua dimensione è 0.[3]

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ (EN) V.E. Govorov, Rank of a module, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.
  2. ^ (EN) Paul Moritz Cohn, Introduction to ring theory, Springer, 2000, pp.169-171, ISBN 1-85233-206-9.
  3. ^ (EN) Charles A. Weibel, An introduction to homological algebra, Cambridge University Press, p. 107, ISBN 0-521-43500-5.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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