Campo dei quozienti

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In algebra, il campo dei quozienti o campo delle frazioni o campo quoziente di un dominio d'integrità unitario è un campo tale che ogni elemento di può essere scritto come il prodotto , dove e sono elementi di e è diverso dallo zero di .

Ad esempio, l'insieme dei numeri razionali è il campo dei quozienti dell'insieme dei numeri interi. Il campo delle frazioni di un campo coincide con sé stesso.

È un caso particolare di localizzazione di un anello.

Costruzione[modifica | modifica wikitesto]

La costruzione del campo dei quozienti di un dominio d'integrità unitario ricalca la costruzione formale dei razionali a partire dagli interi: nel prodotto cartesiano si definisce la relazione di equivalenza

Nell'insieme quoziente di questa relazione si definiscono poi le due operazioni

che sono operazioni interne e definite in e danno ad esso la struttura di campo. All'interno di gli elementi del tipo rappresentano gli elementi di , ovvero l'insieme è una copia isomorfa di

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Il campo dei quozienti di un dominio d'integrità assegnato è unico, ovvero tutti i campi dei quozienti di un dato dominio d'integrità unitario sono isomorfi tra loro; inoltre i campi dei quozienti di due domini d'integrità unitari isomorfi sono a loro volta isomorfi.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Giulia Maria Piacentini Cattaneo, Algebra - un approccio algoritmico. Decibel-Zanichelli, Padova 1996, ISBN 978-88-08-16270-0
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