Modulo proiettivo

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In matematica, un modulo proiettivo è un modulo con la proprietà di essere addendo diretto di un modulo libero: ovvero P è proiettivo se esiste un modulo libero F e un suo sottomodulo N tale che F è la somma diretta di P ed N.

Questo concetto è il duale di quello di modulo iniettivo; è stato introdotto da Henri Cartan e Samuel Eilenberg nel 1956.

Definizioni equivalenti[modifica | modifica sorgente]

Sia A un anello e P un A-modulo sinistro (definizioni totalmente analoghe possono essere date per moduli destri). La definizione precedente (P è proiettivo se è addendo di un modulo libero) può essere generalizzata: P è proiettivo se è un addendo di ogni modulo che si proietta su di esso; in termini di successioni esatte: P è proiettivo se e solo se ogni successione esatta corta

0\longrightarrow N\longrightarrow M\longrightarrow P\longrightarrow 0

si spezza, ovvero se M=N\oplus g^{-1}(P) (dove g è la mappa da M a P).

È possibile caratterizzare i moduli proiettivi anche attraverso una proprietà di sollevamento: P è un modulo proiettivo se e solo se per ogni omomorfismo suriettivo di A-moduli sinistri f : NM e per ogni omomorfismo g : PM esiste un omomorfismo di moduli h : PN tale che hf = g, cioè tale da far commutare il seguente diagramma:

Projective module.png

Altre definizioni equivalenti sfruttano maggiormente la teoria delle categorie: P è proiettivo se e solo se il funtore Hom_A(P,-) è esatto; usando il funtore Ext, P è proiettivo se Ext^1_A(P,M)=0 per ogni A-modulo M.

Esempi e proprietà[modifica | modifica sorgente]

Tutti i moduli liberi sono proiettivi; il viceversa non è in generale vero, sebbene valga per i domini ad ideali principali, per gli anelli locali e per gli anelli di polinomi in più variabili su un campo. Esempi di moduli proiettivi ma non liberi sono gli ideali non principali di un dominio di Dedekind, o gli ideali nella forma eA, dove e è un idempotente di A: ad esempio, se A=A_1\times A_2, allora A_1\times 0 e 0\times A_2 sono A-moduli proiettivi (in quanto A=A_1\oplus A_2) ma non liberi.

Su un campo o su un corpo, tutti i moduli sono proiettivi; in generale, se tutti gli A-moduli sono proiettivi, l'anello è detto semisemplice. Questo avviene, inoltre, se e solo se tutti gli A-moduli sono iniettivi, e se e solo se la sua dimensione globale è 0.

Una somma diretta P=\bigoplus P_i di moduli è proiettiva se e solo se lo è ogni addendo; il prodotto tensoriale di due moduli proiettivi è ancora proiettivo.

Un ideale di A è un A-modulo proiettivo se e solo se è invertibile.

Tutti i moduli proiettivi sono piatti; anche in questo caso, il viceversa non è vero. Tuttavia, tutti i moduli piatti finitamente presentati sono proiettivi.[1]

Risoluzioni proiettive[modifica | modifica sorgente]

Una risoluzione proiettiva di un modulo M è una successione esatta

\cdots\longrightarrow P_n\longrightarrow\cdots\longrightarrow P_1\longrightarrow P_0\longrightarrow M\longrightarrow 0

in cui ogni Pi è proiettivo; poiché ogni modulo è il quoziente di un modulo libero, ogni modulo ha una risoluzione proiettiva. Se Pk è il modulo nullo per ogni k > n, la risoluzione è detta finita; il minimo n per cui esiste una risoluzione finita

0\longrightarrow P_n\longrightarrow\cdots\longrightarrow P_1\longrightarrow P_0\longrightarrow M\longrightarrow 0

è detto dimensione proiettiva di M; se M non ha alcuna risoluzione finita, la sua dimensione proiettiva è infinita. La dimensione proiettiva misura in un certo senso quanto un modulo "è lontano dall'essere proiettivo": infatti, la dimensione proiettiva di un modulo è 0 se e solo se è proiettivo (corrispondente alla risoluzione finita 0\longrightarrow M\longrightarrow M\longrightarrow 0).

L'estremo superiore della dimensioni proiettive degli A-moduli è detta dimensione globale (o omologica) di A.

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ Weibel, op. cit., p.71

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • (EN) Charles A. Weibel, An introduction to homological algebra, Cambridge University Press. ISBN 0-521-43500-5.
  • (EN) Pete L. Clark, Commutative Algebra. URL consultato il 5 novembre 2011.

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]

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