Anello locale regolare

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In matematica, in particolare in algebra commutativa, un anello locale regolare è un anello commutativo unitario locale noetheriano tale che il numero di generatori del suo ideale massimale è uguale alla sua dimensione di Krull. Un anello noetheriano è regolare se ogni sua localizzazione RM (dove M è un suo ideale massimale) è un anello locale regolare.

Il termine "regolare" proviene dalla geometria algebrica: se x è un punto di una varietà algebrica, chiedere che l'anello dei germi di funzioni nel punto è un anello regolare è equivalente a chiedere che la dimensione dello spazio tangente alla varietà in x sia uguale alla dimensione della varietà stessa; quando questo avviene, il punto è detto non singolare (o regolare).

Definizione ed esempi[modifica | modifica sorgente]

Sia A un anello commutativo unitario che sia locale e noetheriano di dimensione n e M il suo ideale massimale.

A è regolare se M può essere generato da n elementi; equivalentemente (grazie al lemma di Nakayama) se la dimensione di M/M^2 come spazio vettoriale su R / M è uguale ad n. Un'altra caratterizzazione si ha attraverso strumenti omologici: A è regolare se e solo se la sua dimensione globale è finita.[1]

Ogni campo e ogni dominio di valutazione discreta sono anelli regolari; anche l'anello delle serie formali K[[X_1,\ldots,X_d]] su un campo K è un anello regolare locale.

Il concetto di anello regolare locale può essere "globalizzato": un anello commutativo unitario noetheriano A è regolare se per ogni ideale massimale M la localizzazione AM è un anello regolare locale.

Proprietà[modifica | modifica sorgente]

Gli anelli locali regolari hanno molte buone proprietà: sono infatti tutti domini d'integrità e domini a fattorizzazione unica. Gli anelli regolari non locali, tuttavia, perdono entrambe queste caratteristiche: ad esempio, i domini di Dedekind sono tutti anelli regolari, ma non sono tutti a fattorizzazione unica. La perdita dell'integrità può essere però in qualche modo controllata: ogni anello regolare, infatti, è il prodotto diretto di un numero finito di domini d'integrità regolari.

La regolarità è una proprietà molto stabile: se A è regolare, ogni localizzazione S^{-1}A è ancora regolare, così come l'anello di polinomi A[X] e l'anello delle serie formali A[[X]]. La regolarità si preserva anche attraverso il completamento; inoltre, un anello locale regolare completo che contiene un campo k è necessariamente isomorfo a K[[X_1,\ldots,X_d]] per un campo K (che può essere diverso da k) e un intero d (uguale alla sua dimensione).

Tutti gli anelli regolari sono anelli di Gorenstein e di Cohen-Macaulay.

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ (EN) Charles A. Weibel, An introduction to homological algebra, Cambridge University Press, p. 1110. ISBN 0-521-43500-5.

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]

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