Anello locale regolare

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In matematica, in particolare in algebra commutativa, un anello locale regolare è un anello commutativo unitario locale noetheriano tale che il numero di generatori del suo ideale massimale è uguale alla sua dimensione di Krull. Un anello noetheriano è regolare se ogni sua localizzazione (dove è un suo ideale massimale) è un anello locale regolare.

Il termine "regolare" proviene dalla geometria algebrica: se è un punto di una varietà algebrica, chiedere che l'anello dei germi di funzioni nel punto sia un anello regolare è equivalente a chiedere che la dimensione dello spazio tangente alla varietà in sia uguale alla dimensione della varietà stessa; quando questo avviene, il punto è detto non singolare (o regolare).

Definizione ed esempi[modifica | modifica wikitesto]

Sia un anello commutativo unitario che sia locale e noetheriano di dimensione e il suo ideale massimale.

L'anello è regolare se può essere generato da elementi; equivalentemente (grazie al lemma di Nakayama) se la dimensione di come spazio vettoriale sul campo è uguale ad . Un'altra caratterizzazione si ha attraverso strumenti omologici: è regolare se e solo se la sua dimensione globale è finita.[1]

Ogni campo e ogni dominio di valutazione discreta sono anelli regolari; anche l'anello delle serie formali su un campo è un anello regolare locale.

Il concetto di anello regolare locale può essere "globalizzato": un anello commutativo unitario noetheriano è regolare se per ogni ideale massimale la localizzazione è un anello regolare locale.

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Gli anelli locali regolari hanno molte buone proprietà: sono infatti tutti domini d'integrità e domini a fattorizzazione unica. Gli anelli regolari non locali, tuttavia, perdono entrambe queste caratteristiche: ad esempio, i domini di Dedekind sono tutti anelli regolari, ma non sono tutti a fattorizzazione unica. La perdita dell'integrità può essere però in qualche modo controllata: ogni anello regolare, infatti, è il prodotto diretto di un numero finito di domini d'integrità regolari.

La regolarità è una proprietà molto stabile: se è regolare, ogni localizzazione è ancora regolare, così come l'anello di polinomi e l'anello delle serie formali . La regolarità si preserva anche attraverso il completamento; inoltre, un anello locale regolare completo che contiene un campo è necessariamente isomorfo a per un campo (che può essere diverso da ) e un intero (uguale alla sua dimensione).

Tutti gli anelli regolari sono anelli di Gorenstein e di Cohen-Macaulay.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ (EN) Charles A. Weibel, An introduction to homological algebra, Cambridge University Press, p. 1110, ISBN 0-521-43500-5.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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