Teorema degli zeri di Hilbert

Il teorema degli zeri di Hilbert o Nullstellensatz (letteralmente "teorema dei luoghi di zeri" in tedesco) è un teorema dell'algebra commutativa (fondamentale in geometria algebrica) che mette in relazione insiemi algebrici e ideali negli anelli dei polinomi su campi algebricamente chiusi. Fu dimostrato per la prima volta da David Hilbert.

Sia $K$ un campo algebricamente chiuso (come il campo dei numeri complessi); si consideri l'anello dei polinomi $K[X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}]$ e sia $I$ un ideale in questo anello. L'insieme algebrico $V(I)$ definito da questo ideale consiste di tutte le $n$ -uple $\mathbf {x} =(x_{1},\ldots ,x_{n})$ in $K^{n}$ tali che $f(\mathbf {x} )=0$ per tutti gli $f$ in $I$ . Il teorema degli zeri di Hilbert afferma che se $p$ è un qualche polinomio in $K[X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}]$ che si annulla sull'insieme algebrico $V(I)$ , cioè $p(\mathbf {x} )=0$ per tutti gli $\mathbf {x}$ in $V(I)$ , allora esiste un numero naturale $r$ tale che $p^{r}$ è in $I$ .

Un corollario immediato è il "Nullstellensatz debole": se $I$ è un ideale proprio in $K[X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}]$ , allora $V(I)$ non può essere vuoto, cioè esiste uno zero comune per tutti i polinomi dell'ideale. O equivalentemente: i polinomi dell'ideale hanno uno zero comune se e solo se l'ideale non contiene $1$ . Questa è la ragione del nome del teorema, che può essere facilmente dimostrato a partire dalla forma 'debole'. Si noti che l'assunzione che $K$ sia algebricamente chiuso è essenziale qui: l'ideale proprio $(X^{2}+1)$ in $\mathbb {R} [X]$ non ha uno zero comune.

Con la notazione comune in geometria algebrica, il Nullstellensatz può anche essere formulato come

I(V(J))={\sqrt {J}},

per ogni ideale $J$ . Qui, ${\sqrt {J}}$ denota il radicale di $J$ e $I(U)$ è l'ideale di tutti i polinomi che si annullano sull'insieme $U$ . In questo modo, otteniamo una corrispondenza biunivoca che inverte l'ordine di inclusione tra gli insiemi algebrici in $K^{n}$ e gli ideali radicali di $K[X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}]$ .