Teorema degli zeri di Hilbert

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Il teorema degli zeri di Hilbert o Nullstellensatz (letteralmente "teorema dei luoghi di zeri" in tedesco) è un teorema dell'algebra commutativa (fondamentale in geometria algebrica) che mette in relazione insiemi algebrici e ideali negli anelli dei polinomi su campi algebricamente chiusi. Fu dimostrato per la prima volta da David Hilbert.

Sia un campo algebricamente chiuso (come il campo dei numeri complessi); si consideri l'anello dei polinomi e sia un ideale in questo anello. L'insieme algebrico definito da questo ideale consiste di tutte le -uple in tali che per tutti gli in . Il teorema degli zeri di Hilbert afferma che se è un qualche polinomio in che si annulla sull'insieme algebrico , cioè per tutti gli in , allora esiste un numero naturale tale che è in .

Un corollario immediato è il "Nullstellensatz debole": se è un ideale proprio in , allora non può essere vuoto, cioè esiste uno zero comune per tutti i polinomi dell'ideale. O equivalentemente: i polinomi dell'ideale hanno uno zero comune se e solo se l'ideale non contiene . Questa è la ragione del nome del teorema, che può essere facilmente dimostrato a partire dalla forma 'debole'. Si noti che l'assunzione che sia algebricamente chiuso è essenziale qui: l'ideale proprio in non ha uno zero comune.

Con la notazione comune in geometria algebrica, il Nullstellensatz può anche essere formulato come

per ogni ideale . Qui, denota il radicale di e è l'ideale di tutti i polinomi che si annullano sull'insieme . In questo modo, otteniamo una corrispondenza biunivoca che inverte l'ordine di inclusione tra gli insiemi algebrici in e gli ideali radicali di .

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