Teorema degli zeri di Hilbert

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Il teorema degli zeri di Hilbert o Nullstellensatz (letteralmente "teorema dei luoghi di zeri" in tedesco) è un teorema dell'algebra commutativa (fondamentale in geometria algebrica) che mette in relazione insiemi algebrici e ideali negli anelli dei polinomi su campi algebricamente chiusi. Fu dimostrato per la prima volta da David Hilbert.

Sia K un campo algebricamente chiuso (come il campo dei numeri complessi); si consideri l'anello dei polinomi K[X_1,X_2,\ldots, X_n] e sia I un ideale in questo anello. L'insieme algebrico V(I) definito da questo ideale consiste di tutte le n-uple \mathbf{x}= (x_1,\ldots,x_n) in K^n tali che f(\mathbf{x})=0 per tutti gli f in I. Il teorema degli zeri di Hilbert afferma che se p è un qualche polinomio in K[X_1,X_2,\ldots, X_n] che si annulla sull'insieme algebrico V(I), cioè p(\mathbf{x})=0 per tutti gli \mathbf{x} in V(I), allora esiste un numero naturale r tale che p^r è in I.

Un corollario immediato è il "Nullstellensatz debole": se I è un ideale proprio in K[X_1,X_2,\ldots, X_n], allora V(I) non può essere vuoto, cioè esiste uno zero comune per tutti i polinomi dell'ideale. O equivalentemente: i polinomi dell'ideale hanno uno zero comune se e solo se l'ideale non contiene 1. Questa è la ragione del nome del teorema, che può essere facilmente dimostrato a partire dalla forma 'debole'. Si noti che l'assunzione che K sia algebricamente chiuso è essenziale qui: l'ideale proprio (X^2+1) in \R[X] non ha uno zero comune.

Con la notazione comune in geometria algebrica, il Nullstellensatz può anche essere formulato come

I(V(J))=\sqrt{J},

per ogni ideale J. Qui, \sqrt{J} denota il radicale di J e I(U) è l'ideale di tutti i polinomi che si annullano sull'insieme U. In questo modo, otteniamo una corrispondenza biunivoca che inverte l'ordine di inclusione tra gli insiemi algebrici in K^n e gli ideali radicali di K[X_1,X_2,\ldots, X_n].

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