Profondità (algebra)

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In algebra commutativa, la profondità (o grado) di un modulo è un invariante usato specialmente nello studio degli anelli noetheriani. In particolare, è usato per definire gli anelli di Cohen-Macaulay.

Successioni regolari[modifica | modifica wikitesto]

Sia un ideale di un anello commutativo unitario e sia un -modulo tale che . Una successione di elementi di è una -successione regolare di se, per ogni compreso tra ed l'elemento non è un divisore dello zero del modulo .

In generale, la permutazione di una successione regolare non è una successione regolare; ad esempio, se è un campo e è l'anello dei polinomi in tre indeterminate, allora è una successione regolare, ma non lo è , in quanto è un divisore dello zero di . Se è noetheriano, una condizione sufficiente perché ogni permutazione di una permutazione regolare sia ancora una successione regolare è che l'ideale sia contenuto nel radicale di Jacobson; in particolare, questo avviene se è un anello locale.

Una -successione regolare è massimale se non può essere ulteriormente allungata, ovvero se tutti gli elementi di sono divisori dello zero di . In generale, due successioni regolari massimali possono avere lunghezze diverse; questo non avviene però se è un anello noetheriano e è un -modulo finitamente generato.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Sia un ideale di un anello commutativo unitario e sia un -modulo tale che . La profondità di rispetto ad è la massima lunghezza di una -successione regolare di ; se non vi sono -successioni regolari, la profondità è 0, mentre se vi sono successioni arbitrariamente lunghe, o successioni infinite, la profondità è infinita. Viene indicata con (dall'inglese depth = profondità).

Se , allora è indicato anche come ed è detto la profondità di . Se inoltre è un anello locale con ideale massimale , allora è chiamato profondità di , ed è indicato con .

Nel caso degli anello noetheriani locali, una definizione equivalente può essere data attraverso l'algebra omologica: la -profondità di è il minimo intero tale che (dove indica il funtore Ext).

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Un modulo ha profondità 0 rispetto ad se e solo se è contenuto nell'insieme dei divisori dello zero di ; in particolare, se e solo se tutti gli elementi di sono divisori dello zero. Di conseguenza, se è un dominio d'integrità allora tutti gli ideali non nulli (e, quindi, l'anello stesso) hanno profondità positiva.

Quando l'anello è noetheriano, si può legare la profondità di un ideale ad altre sue caratteristiche. In questo caso, la profondità di un ideale è uguale a quella del suo radicale, ed esiste sempre un ideale primo contenente che ha la stessa profondità di . Questo permette, procedendo per induzione, di dimostrare che la profondità di è sempre minore o uguale della sua altezza. Un anello noetheriano tale che per ogni ideale è detto anello di Cohen-Macaulay.

Sempre nel caso noetheriano, la profondità di un modulo finitamente generato rispetto ad un ideale è sempre minore o uguale del numero di elementi necessari a generare . Se inoltre è contenuto nel radicale di Jacobson di , allora se e solo se è una successione regolare. Questi due risultati sono noti come teoremi di unmixedness.

È anche possibile legare la profondità di un modulo con quella delle sue localizzazioni. Infatti, se è una parte moltiplicativa di , allora una successione regolare di è anche una successione regolare di , purché . In particolare, se , allora , e dunque . Se è noetheriano, per ogni ideale esiste sempre un ideale massimale che contiene tale che . In particolare, la profondità di è uguale alla profondità dell'ideale massimale di .

Un'importante proprietà della profondità è espressa dalla formula di Auslander-Buchsbaum, che afferma che, se è un anello locale noetheriano ed è un -modulo finitamente generato e di dimensione proiettiva finita, allora

.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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