Anello di Cohen-Macaulay

In matematica, in particolare in algebra commutativa, un anello di Cohen-Macaulay è un anello commutativo unitario noetheriano tale che, per ogni ideale massimale $M$ , la profondità e la dimensione di Krull della localizzazione $A_{M}$ sono uguali. La classe degli anelli di Cohen-Macaulay contiene al suo interno tutti gli anelli regolari e gli anelli di Gorenstein.

Prendono nome da Francis Sowerby Macaulay e Irving Cohen, che dimostrarono il teorema di unmixedness rispettivamente per gli anelli di polinomi (Macaulay, 1916) e gli anelli di serie formali (Cohen, 1946).

Definizioni equivalenti[modifica | modifica wikitesto]

Sia $A$ un anello commutativo unitario noetheriano. $A$ è di Cohen-Macaulay se la sua dimensione di Krull coincide con la sua profondità, ovvero se esiste una successione regolare di lunghezza pari alla dimensione di Krull di $A$ . Questo è equivalente a richiedere che la profondità di ogni ideale di $A$ coincida con la sua altezza. Omologicamente, questo equivale a richiedere che $\mathrm {Ext} _{A}^{i}(K,A)=0$ per $i<\dim(A)$ , dove $\mathrm {Ext}$ indica il funtore Ext e $K$ è il campo residuo di $A$ .

Se $A$ non è locale, allora $A$ è detto di Cohen-Macaulay se $A_{M}$ è un anello di Cohen-Macaulay, o equivalentemente se $h(I)=\mathrm {depth} (I)$ per ogni ideale $I$ di $A$ .

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

Tutti gli anelli noetheriani di dimensione 0 (ovvero gli anelli artiniani) sono di Cohen-Macaulay (in quanto la profondità è un intero compreso tra 0 e la dimensione dell'anello). Già in dimensione 1 esistono anelli che non sono di Cohen-Macaulay: un esempio è l'anello $K[[x,y]]/(x^{2},xy)$ , che ha dimensione 1 e profondità 0.

Tutti i domini d'integrità noetheriani di altezza 1 sono di Cohen-Macaulay, così come i domini d'integrità integralmente chiusi di dimensione 2. Anche questi risultati non possono essere estesi in dimensione superiore: esistono infatti domini d'integrità di dimensione 2 e domini integralmente chiusi di dimensione 3 che non sono di Cohen-Macaulay.

Tutti gli anelli regolari sono anelli di Cohen-Macaulay.

Tutti gli anelli di Gorenstein sono anelli di Cohen-Macaulay.

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Ogni localizzazione di un anello di Cohen-Macaulay è ancora di Cohen-Macaulay; tuttavia la proprietà di essere Cohen-Macaulay non è rispettata dal passaggio al quoziente. Se però $A$ è di Cohen-Macaulay e $I$ è un ideale generato da una successione regolare, allora $A/I$ è ancora di Cohen-Macaulay.

Un anello noetheriano $A$ è di Cohen-Macaulay se e solo se lo è l'anello dei polinomi $A[X]$ , o se lo è l'anello delle serie formali $A[[X]]$ .

Inoltre, un anello locale è di Cohen-Macaulay se e solo se lo è il suo completamento $M$ -adico.

Un'altra condizione equivalente ad essere un anello di Cohen-Macaulay è dato dal teorema di unmixedness, che afferma che $A$ è di Cohen-Macaulay se e solo se, per ogni ideale $I$ generato da $h(I)$ elementi, tutti i primi associati di $I$ hanno la stessa altezza.

Un'importante proprietà degli anelli di Cohen-Macaulay è che, se $P$ è un ideale primo di $A$ , allora tutte le catene discendenti saturate di ideali primi hanno la stessa cardinalità. In particolare, questo dimostra che se $A$ è locale e di Cohen-Macaulay allora $\dim(A_{P})+\dim(A/P)=\dim(A)$ per ogni ideale primo $P$ , ovvero che $h(P)+\dim(A/P)=\dim(A)$ per ogni primo $P$ .