Teorema della base di Hilbert

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In matematica, il teorema della base di Hilbert è un risultato dell'algebra commutativa, fondamentale nello studio degli anelli noetheriani. Esso afferma che, se è noetheriano, allora l'anello dei polinomi è ancora noetheriano; ricorsivamente, questo dimostra che , così come ogni -algebra finitamente generata, è un anello noetheriano.

Il teorema è stato dimostrato per la prima volta da David Hilbert nel 1888 nel caso in cui è un campo, e poi generalizzato nella forma attuale da Emmy Noether. Una dimostrazione costruttiva (a differenza di quella di Hilbert) fu data da Paul Gordan nel 1900.[1]

Il risultato è anche importante in geometria algebrica, in quanto dimostra che ogni insieme algebrico può essere definito da un numero finito di equazioni polinomiali.

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Supponiamo per assurdo che non sia noetheriano; allora, esiste un ideale non finitamente generato. Costruiamo una successione di polinomi nel modo seguente:

  • è un elemento di di grado minimo (tra gli elementi di );
  • è un elemento di di grado minimo tra gli elementi di .

Sia il coefficiente direttore di , e sia il grado di .

Sia l'ideale di generato dagli ; poiché è noetheriano, è finitamente generato. In particolare, è generato da per un certo intero .

In particolare, si può scrivere ; consideriamo il polinomio

.

Per definizione, appartiene a ; inoltre, è un polinomio di grado il cui coefficiente direttore è . In particolare, il polinomio

è un polinomio di grado che appartiene a (perché vi appartengono sia che ) ma non a (perché vi appartiene ma non ). Questo tuttavia contrasta con la scelta di come polinomio di grado minimo in : di conseguenza, deve essere un ideale finitamente generato, e è un anello noetheriano.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ (FR) Paul Gordan, Les invariants des formes binaires, in Journal de mathématiques pures et appliquées 5e série, vol. 6, 1900, pp. 141-156.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

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