Teorema della base di Hilbert

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Il teorema della base di Hilbert, dimostrato da David Hilbert per la prima volta nel 1888, sostiene che se è un anello noetheriano, allora l'anello dei polinomi è noetheriano.

Procedendo ricorsivamente, si dimostra che anche è un anello noetheriano. In particolare, se è un campo algebricamente chiuso, il risultato è importante in geometria algebrica poiché permette di ricavare che ogni ideale dell'anello è generato da un numero finito di elementi.

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Sia un ideale; per assurdo, se non fosse noetheriano si potrebbe costruire una successione di polinomi tali che per ogni positivo si abbia:

  • ;

Si consideri l'ideale generato dai coefficienti direttori dei polinomi; poiché è noetheriano, esistono degli elementi tali che . In generale, non è un coefficiente direttore di un , tuttavia ognuno è dato da una combinazione lineare degli , dato che , quindi si può pensare che sia generato dai primi elementi, cioè .

Ora, si costruisca il polinomio , dove e ; è un polinomio di grado e coefficiente direttore , appartenente all'ideale . Sottraendolo a si ottiene un polinomio in di grado minore di e ciò contrasta con la scelta della successione.

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