Radicale di un ideale

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In matematica, e più precisamente in algebra, il radicale (o nilradicale) di un ideale di un anello commutativo è l'ideale formato da tutti gli elementi dell'anello di cui è possibile trovare una potenza contenuta in o, equivalentemente in un anello commutativo unitario come l'intersezione di tutti gli ideali primi contenenti . Un ideale che coincide con il suo radicale si dice un ideale radicale.

Il radicale di , denotato con o con , è un ideale radicale contenente e, più precisamente, è il più piccolo ideale radicale contenente .

Il radicale dell'ideale dell'anello è detto radicale (o nilradicale) di , e viene spesso indicato con .

Il radicale di un ideale è collegato molto strettamente con la geometria algebrica attraverso il teorema degli zeri (o "Nullstellensatz") di Hilbert, che afferma che, se è un campo algebricamente chiuso, gli ideali radicali dell'anello dei polinomi sono in corrispondenza biunivoca con gli insiemi algebrici dello spazio affine .

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Sia un ideale di un anello commutativo . Il radicale di I è l'insieme

è effettivamente un ideale, in quanto

per ogni
se , allora

Equivalentemente in un anello commutativo unitario, il radicale di è l'intersezione di tutti gli ideali primi contenenti : se infatti , allora per ogni ideale primo , e quindi ; viceversa, se per ogni ideale primo contenente , allora l'insieme degli ideali che contengono ma non contengono alcuna potenza di ammette un elemento massimale (grazie al lemma di Krull), che è possibile dimostrare essere primo, contro l'ipotesi che fosse contenuto in tutti gli ideali primi contenenti .

In particolare, il nilradicale di , ovvero il radicale dell'ideale nullo, coincide con l'intersezione di tutti gli ideali primi di .

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

La seconda caratterizzazione del radicale è utile per analizzarne il comportamento tramite omomorfismi: se è un omomorfismo il cui nucleo è contenuto in , allora ; in particolare, se è la proiezione canonica, è la controimmagine del radicale dell'ideale nullo in , ovvero del radicale di . In particolare, è un ideale radicale se e solo se è un anello ridotto.

Inoltre, questa caratterizzazione implica che un ideale primo contiene se e solo se contiene : ne segue che (in quanto sono l'intersezione degli elementi dello stesso insieme) e, inoltre, che i chiusi definiti da e da nella topologia di Zariski dello spettro dell'anello coincidono.

Altre proprietà legano il radicale di alle operazioni tra ideali:

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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