Campo algebricamente chiuso

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In matematica, un campo algebricamente chiuso è un campo in cui ogni polinomio non costante a coefficienti in ha una radice in (cioè un elemento tale che il valore del polinomio in è l'elemento neutro dell'addizione del campo).

Ad esempio, il campo dei numeri reali non è algebricamente chiuso, perché l'equazione polinomiale

non ha soluzioni nei reali, anche se entrambi i suoi coefficienti (3 e 1) sono reali. Al contrario, il campo dei numeri complessi è algebricamente chiuso: questo è ciò che afferma il teorema fondamentale dell'algebra.

Proprietà equivalenti[modifica | modifica wikitesto]

Un modo comune di esprimere il fatto che un campo è algebricamente chiuso è attraverso la riducibilità dei suoi polinomi: è algebricamente chiuso se e solo se ogni polinomio di grado può essere decomposto come , dove sono elementi di . Gli sono precisamente gli elementi del campo che annullano . Equivalentemente, è algebricamente chiuso se e solo se gli unici polinomi irriducibili sono quelli lineari.

Dalla definizione segue anche che un campo è algebricamente chiuso se e solo se non possiede estensioni algebriche proprie, o se e solo se non possiede estensioni finite proprie.

Chiusura algebrica[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Chiusura algebrica.

Ogni campo può essere incluso in un campo algebricamente chiuso che è, in un certo senso, "il più piccolo" campo algebricamente chiuso che lo contiene: più precisamente, tale che nessun campo intermedio tra e è algebricamente chiuso o, equivalentemente, tale che è algebrico su . In questo caso, è detto una chiusura algebrica di : due chiusure algebriche di sono sempre tra loro isomorfe, sebbene non sia possibile in genere stabilire un isomorfismo canonico tra due chiusure algebriche (astratte) di . Per dimostrare questa proprietà è necessario usare il lemma di Zorn.

Ad esempio, il campo dei numeri complessi è una chiusura algebrica del campo dei numeri reali, ma non è la chiusura algebrica dei numeri razionali, che è invece il campo dei numeri algebrici.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Stefania Gabelli, Teoria delle Equazioni e Teoria di Galois, Milano, Springer, 2008, ISBN 978-88-470-0618-8.
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