Dominio di Krull

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In matematica, un dominio di Krull è un dominio d'integrità che è intersezione di una famiglia localmente finita di domini di valutazione discreta. I domini di Krull sono, allo stesso tempo, una generalizzazione dei domini noetheriani integralmente chiusi (e, in particolare, dei domini di Dedekind) e dei domini a fattorizzazione unica.

Prendono il loro nome da Wolfgang Krull (1899 – 1971).

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Sia A un anello commutativo unitario integro. A è un dominio di Krull se esiste una famiglia \{V_i\}_{i\in I} di domini di valutazione discreta (DVR) contenuti nel campo dei quozienti di A tali che A=\bigcap_{i\in I}V_i e, per ogni a\in A, esistono solo un numeri finito di V_i tali che a non è invertibile in V_i.

Equivalentemente, A è un dominio di Krull se, per ogni ideale primo P di altezza 1, la localizzazione A_P è un DVR, A è intersezione di queste localizzazioni e ogni elemento a\in A è contenuto in un numero finito di ideali primi d'altezza 1.

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Essendo intersezione di anelli integralmente chiusi, ogni dominio di Krull è integralmente chiuso.

La proprietà di essere un dominio di Krull soddisfa alcune proprietà di stabilità: ogni localizzazione S^{-1}A è ancora un dominio di Krull, così come la sua chiusura integrale in un'estensione finita del suo campo dei quozienti; analogamente, gli anelli dei polinomi A[\mathbf{X}] e delle serie formali A[[\mathbf{X}]] in un qualunque numero di indeterminate sono ancora domini di Krull (per ognuna delle tre definizioni di anello delle serie formali in infinite indeterminate[1]). Al contrario, questa proprietà non è invariante rispetto al passaggio al quozienti: ad esempio, l'anello K[X,Y]/(X^2-Y^3) (dove K è un campo) non è neppure integralmente chiuso.

L'intersezione di un numero finito o di un insieme localmente finito di domini di Krull è ancora un dominio di Krull, mentre l'intersezione di una famiglia arbitraria può non esserlo.

Legami con gli anelli noetheriani[modifica | modifica wikitesto]

Tutti i domini noetheriani integralmente chiusi sono domini di Krull: se, infatti, P è un primo di altezza 1, la localizzazione A_P è un dominio locale noetheriano integralmente chiuso di dimensione 1, e quindi è un DVR; inoltre, ogni a\in A è contenuto in un numero finito di ideali primi d'altezza 1 (poiché l'anello A/aA ha un numero finito di primi minimali). Viceversa, tutti i domini di Krull di dimensione 1 sono noetheriani, ovvero sono domini di Dedekind.

Diversi teoremi relativi agli anelli noetheriani si generalizzano ai domini di Krull, sebbene sia a volte necessario restringerne il campo d'applicazione. Ad esempio, i domini di Krull, come gli anelli noetheriani, verificano il teorema dell'ideale principale, mentre un teorema solo parzialmente valido è quello sull'esistenza della decomposizione primaria: se I è un ideale di un dominio di Krull, I può non essere decomponibile, ma lo è sicuramente se è principale.

Un altro legame naturale tra i domini noetheriani e i domini di Krull è dato dal teorema di Mori-Nagata, che afferma che la chiusura integrale di un dominio noetheriano nel suo campo dei quozienti (o, più in generale, in un'estensione finita del suo campo dei quozienti) è un dominio di Krull. Più in generale, la chiusura integrale di un anello noetheriano A ridotto (ma non necessariamente integro) nel suo anello totale dei quozienti è il prodotto diretto di r domini di Krull, dove r è il numero dei primi minimali di A.

Proprietà di fattorizzazione[modifica | modifica wikitesto]

Tutti i domini di Krull sono atomici, ovvero ogni elemento può essere espresso come prodotto di elementi irriducibili.

Ogni dominio a fattorizzazione unica (UFD) è un dominio di Krull, in quanto i primi di altezza 1 di un UFD sono principali; viceversa, un dominio di Krull i cui primi di altezza 1 sono principali sono a fattorizzazione unica. Per "misurare" quanto un dominio di Krull è lontano dall'essere a fattorizzazione unica si può introdurre un gruppo, detto gruppo delle classi, che generalizza il concetto di gruppo delle classi di un dominio di Dedekind.

Un ideale frazionario I di un dominio di Krull A con campo dei quozienti K è divisoriale se I=(A:(A:I)), dove (I:J):=\{x\in K\mid xJ\subseteq I\}. L'insieme degli ideali divisoriali è un gruppo sotto l'operazione di moltiplicazione tra ideali, che è isomorfo al gruppo abeliano libero generato dagli ideali primi di altezza 1; in particolare, ogni ideale divisoriale I ha una decomposizione primaria

I=P_1^{(e_1)}\cap\cdots\cap P_n^{(e_n)}

dove i P_i sono ideali primi di altezza 1, gli e_i sono interi positivi e P_i^{(e_i)}=P_i^{e_i}A_{P_i}\cap A è la e_i-esima potenza simbolica di P_i.

Il gruppo delle classi di A è definito come il quoziente tra il gruppo degli ideali divisoriali e il sottogruppo degli ideali frazionari principali; esso si riduce al gruppo banale se e solo se A è a fattorizzazione unica, ovvero se e solo se tutti gli ideali divisoriali sono principali. Se A è un dominio di Dedekind, allora il gruppo delle classi di A non è altro che il quoziente tra il gruppo degli ideali invertibili e il sottogruppo degli ideali frazionari principali.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Robert Gilmer, Power series ring over a Krull domain in Pacific Journal of Mathematics, vol. 29, nº 3, 1969, pp. 543-549.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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