Dominio di Krull

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In matematica, un dominio di Krull è un dominio d'integrità che è intersezione di una famiglia localmente finita di domini di valutazione discreta. I domini di Krull sono, allo stesso tempo, una generalizzazione dei domini noetheriani integralmente chiusi (e, in particolare, dei domini di Dedekind) e dei domini a fattorizzazione unica.

Prendono il loro nome da Wolfgang Krull (1899 – 1971).

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Sia un anello commutativo unitario integro. è un dominio di Krull se esiste una famiglia di domini di valutazione discreta (DVR) contenuti nel campo dei quozienti di tali che e, per ogni , esistono solo un numeri finito di tali che non è invertibile in .

Equivalentemente, è un dominio di Krull se, per ogni ideale primo di altezza 1, la localizzazione è un DVR, è intersezione di queste localizzazioni e ogni elemento è contenuto in un numero finito di ideali primi d'altezza 1.

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Essendo intersezione di anelli integralmente chiusi, ogni dominio di Krull è integralmente chiuso.

La proprietà di essere un dominio di Krull soddisfa alcune proprietà di stabilità: ogni localizzazione è ancora un dominio di Krull, così come la sua chiusura integrale in un'estensione finita del suo campo dei quozienti; analogamente, gli anelli dei polinomi e delle serie formali in un qualunque numero di indeterminate sono ancora domini di Krull (per ognuna delle tre definizioni di anello delle serie formali in infinite indeterminate[1]). Al contrario, questa proprietà non è invariante rispetto al passaggio al quozienti: ad esempio, l'anello (dove è un campo) non è neppure integralmente chiuso.

L'intersezione di un numero finito o di un insieme localmente finito di domini di Krull è ancora un dominio di Krull, mentre l'intersezione di una famiglia arbitraria può non esserlo.

Legami con gli anelli noetheriani[modifica | modifica wikitesto]

Tutti i domini noetheriani integralmente chiusi sono domini di Krull: se, infatti, è un primo di altezza 1, la localizzazione è un dominio locale noetheriano integralmente chiuso di dimensione 1, e quindi è un DVR; inoltre, ogni è contenuto in un numero finito di ideali primi d'altezza 1 (poiché l'anello ha un numero finito di primi minimali). Viceversa, tutti i domini di Krull di dimensione 1 sono noetheriani, ovvero sono domini di Dedekind.

Diversi teoremi relativi agli anelli noetheriani si generalizzano ai domini di Krull, sebbene sia a volte necessario restringerne il campo d'applicazione. Ad esempio, i domini di Krull, come gli anelli noetheriani, verificano il teorema dell'ideale principale, mentre un teorema solo parzialmente valido è quello sull'esistenza della decomposizione primaria: se è un ideale di un dominio di Krull, può non essere decomponibile, ma lo è sicuramente se è principale.

Un altro legame naturale tra i domini noetheriani e i domini di Krull è dato dal teorema di Mori-Nagata, che afferma che la chiusura integrale di un dominio noetheriano nel suo campo dei quozienti (o, più in generale, in un'estensione finita del suo campo dei quozienti) è un dominio di Krull. Più in generale, la chiusura integrale di un anello noetheriano ridotto (ma non necessariamente integro) nel suo anello totale dei quozienti è il prodotto diretto di domini di Krull, dove è il numero dei primi minimali di .

Proprietà di fattorizzazione[modifica | modifica wikitesto]

Tutti i domini di Krull sono atomici, ovvero ogni elemento può essere espresso come prodotto di elementi irriducibili.

Ogni dominio a fattorizzazione unica (UFD) è un dominio di Krull, in quanto i primi di altezza 1 di un UFD sono principali; viceversa, un dominio di Krull i cui primi di altezza 1 sono principali sono a fattorizzazione unica. Per "misurare" quanto un dominio di Krull è lontano dall'essere a fattorizzazione unica si può introdurre un gruppo, detto gruppo delle classi, che generalizza il concetto di gruppo delle classi di un dominio di Dedekind.

Un ideale frazionario di un dominio di Krull con campo dei quozienti è divisoriale se , dove . L'insieme degli ideali divisoriali è un gruppo sotto l'operazione di moltiplicazione tra ideali, che è isomorfo al gruppo abeliano libero generato dagli ideali primi di altezza 1; in particolare, ogni ideale divisoriale ha una decomposizione primaria

dove i sono ideali primi di altezza 1, gli sono interi positivi e è la -esima potenza simbolica di .

Il gruppo delle classi di è definito come il quoziente tra il gruppo degli ideali divisoriali e il sottogruppo degli ideali frazionari principali; esso si riduce al gruppo banale se e solo se è a fattorizzazione unica, ovvero se e solo se tutti gli ideali divisoriali sono principali. Se è un dominio di Dedekind, allora il gruppo delle classi di non è altro che il quoziente tra il gruppo degli ideali invertibili e il sottogruppo degli ideali frazionari principali.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Robert Gilmer, Power series ring over a Krull domain, in Pacific Journal of Mathematics, vol. 29, nº 3, 1969, pp. 543-549.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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