Presentazione di un gruppo

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In matematica, e in particolare in algebra astratta, una presentazione di un gruppo è una particolare definizione ottenuta mediante l'elencazione dei seguenti insiemi:

  • i generatori del gruppo, ovvero degli elementi il cui prodotto combinato dà origine a tutti gli elementi del gruppo;
  • le relazioni, ovvero una serie di uguaglianze tra i vari elementi del gruppo.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

La definizione formale di una presentazione necessita di alcune definizioni preliminari, che vengono date nel seguito.

Parole[modifica | modifica wikitesto]

Consideriamo un insieme ; per ogni definiamo un ulteriore elemento [1]; una parola è qualunque prodotto formale finito

,

dove oppure , con . Definiamo anche la parola vuota come il prodotto formato da nessun fattore.

Una parola è detta ridotta se non esistono due elementi e contigui. È sempre possibile ottenere una parola ridotta eliminando tali elementi contigui (ovvero sostituendoli con la parola vuota); due parole sono considerate equivalenti se generano la stessa parola ridotta. Possiamo inoltre utilizzare le seguenti scritture abbreviate:

Gruppo libero[modifica | modifica wikitesto]

Definiamo come prodotto tra due parole ridotte la parola che si ottiene concatenando le due parole di partenza, e riducendo se necessario il risultato finale. L'insieme delle parole ridotte dotato di questa operazione è un gruppo chiamato gruppo libero sull'insieme e indicato con . L'elemento neutro è la parola vuota, mentre l'inverso di una parola è ottenuto scrivendo i fattori in ordine inverso e scambiando il fattore con il fattore e viceversa.

Presentazione di un gruppo[modifica | modifica wikitesto]

Consideriamo un insieme , il gruppo libero e un sottoinsieme formato da parole di . Il gruppo di presentazione è definito come il più grande gruppo quoziente di tale che ogni elemento di è identificato con l'identità.

Detto il più piccolo sottogruppo normale contenente (chiusura normale di ), si dimostra che:

Gli elementi di sono detti generatori di , gli elementi di sono detti relatori; questi elementi esprimono in effetti delle relazioni di uguaglianza tra gli elementi di , che nella loro forma più semplice possono essere espressi come , dove e è l'identità di .

Presentazioni finite[modifica | modifica wikitesto]

Una presentazione è detta finitamente generata se l'insieme dei generatori è finito, finitamente relazionata se è finito l'insieme delle relazioni, finita se sono finiti sia che .

Ogni gruppo finito possiede una presentazione finita, che si ricava direttamente dalla sua tavola di composizione: è sufficiente prendere e come l'insieme formato da tutti gli elementi del tipo , dove è una entrata della tavola di composizione.

Presentazione ricorsiva[modifica | modifica wikitesto]

Se è indicizzato da un insieme , esiste una funzione biiettiva e un algoritmo che, dato permette di trovare e viceversa (numerazione di Gödel). Dato un insieme , diciamo che è ricorsivo o ricorsivamente numerabile se lo è .

Se l'insieme delle relazioni è ricorsivamente numerabile, la presentazione è detta ricorsiva; in questo caso è sempre possibile trovare una presentazione del gruppo per cui l'insieme delle relazioni è ricorsivo (giustificando la sovrapposizione delle due notazioni).

Ogni gruppo finito ha una presentazione ricorsiva, mentre non è vero l'inverso. Un teorema dovuto a Graham Higman stabilisce che un gruppo finitamente generato ha una presentazione ricorsiva se e solo se è immerso in un gruppo a presentazione ricorsiva. Segue che, a meno di isomorfismi, esiste solo una quantità numerabile di gruppi a presentazione ricorsiva. Bernhard Neumann ha mostrato che esiste una quantità più che numerabile di gruppi a due generatori; pertanto esistono gruppi finitamente generati che non possono essere presentati ricorsivamente.

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Per le presentazioni di un gruppo valgono le seguenti proprietà:

  • ogni gruppo ha una presentazione;
  • ogni gruppo finito ha una presentazione finita;
  • in generale, esistono delle presentazioni per le quali nessun algoritmo è in grado di decidere se due parole descrivano lo stesso elemento del gruppo (problema delle parole);
  • dati due gruppi e di presentazioni e , con e disgiunti, il prodotto libero ha presentazione ;
  • dati due gruppi e di presentazioni e , con e disgiunti, il prodotto diretto ha presentazione ;

Esempi di presentazioni di gruppi[modifica | modifica wikitesto]

Nella tabella seguente sono riportate alcune presentazioni di gruppi di uso comune; molti di questi gruppi possiedono numerose altre possibili presentazioni che qui non sono riportate.

Gruppo Presentazione Note
Gruppo libero su Un gruppo libero non è soggetto ad alcuna relazione tra i suoi elementi.
Gruppo libero abeliano su , dove è l'insieme di tutti i commutatori di .
Gruppo simmetrico , dove la seconda relazione vale per . La terza relazione si può sostituire con , utilizzando la prima relazione. è la permutazione che scambia l'i-esimo elemento con l'i+1-esimo. Il prodotto è un 3-ciclo sull'insieme .
Gruppo di trecce , dove la prima relazione vale per . L'unica differenza con il gruppo simmetrico è la mancanza della relazione .
, gruppo ciclico di ordine n
, gruppo diedrale di ordine n rappresenta una rotazione, una riflessione.
, gruppo diedrale infinito
, gruppo diciclico
Gruppo dei quaternioni Equivale al gruppo diciclico .
Il gruppo tetraedrale È il gruppo delle simmetrie di un tetraedro che conservano l'orientamento.
Il gruppo ottaedrale È il gruppo delle simmetrie di un ottaedro che conservano l'orientamento.
Il gruppo icosaedrale È il gruppo delle simmetrie di un icosaedro che conservano l'orientamento.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ È sempre possibile definire due elementi e , che si identificano rispettivamente con e

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) D. L. Johnson, Presentations of Groups. Cambridge, Cambridge University, 1990. ISBN 0-521-37824-9
  • (EN) H. S. M Coxeter, W. O. J. Moser, Generators and Relations for Discrete Groups. New York, Springer-Verlag, 1980. ISBN 0-387-09212-9

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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