Presentazione di un gruppo

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In matematica, una presentazione di un gruppo è una particolare definizione ottenuta mediante l'elencazione dei seguenti insiemi:

  • i generatori del gruppo, ovvero degli elementi il cui prodotto combinato dà origine a tutti gli elementi del gruppo;
  • le relazioni, ovvero una serie di uguaglianze tra i vari elementi del gruppo.

Definizione[modifica | modifica sorgente]

La definizione formale di una presentazione necessita di alcune definizioni preliminari, che vengono date nel seguito.

Parole[modifica | modifica sorgente]

Consideriamo un insieme I; per ogni x \in I definiamo un ulteriore elemento x^{-1}[1]; una parola è qualunque prodotto formale finito

y_1 y_2 \ldots y_n,

dove y = x oppure y = x^{-1}, con x \in I. Definiamo anche la parola vuota come il prodotto formato da nessun fattore.

Una parola è detta ridotta se non esistono due elementi x e x^{-1} contigui. È sempre possibile ottenere una parola ridotta eliminando tali elementi contigui (ovvero sostituendoli con la parola vuota); due parole sono considerate equivalenti se generano la stessa parola ridotta. Possiamo inoltre utilizzare le seguenti scritture abbreviate:


\begin{matrix}
x^n & = & \underbrace{x x \ldots x}\\
& & n \mbox{ volte}\\
x^{-n} & = & \underbrace{x^{-1} x^{-1} \ldots x^{-1}}.\\
& & n \mbox{ volte}
\end{matrix}

Gruppo libero[modifica | modifica sorgente]

Definiamo come prodotto tra due parole ridotte la parola che si ottiene concatenando le due parole di partenza, e riducendo se necessario il risultato finale. L'insieme delle parole ridotte dotato di questa operazione è un gruppo chiamato gruppo libero sull'insieme I e indicato con \langle I \rangle. L'elemento neutro è la parola vuota, mentre l'inverso di una parola è ottenuto scrivendo i fattori in ordine inverso e scambiando il fattore x con il fattore x^{-1} e viceversa.

Presentazione di un gruppo[modifica | modifica sorgente]

Consideriamo un insieme S, il gruppo libero \langle S \rangle e un sottoinsieme R \subseteq \langle S \rangle formato da parole di S. Il gruppo di presentazione \langle S \mid R \rangle è definito come il più grande gruppo quoziente di \langle S \rangle tale che ogni elemento di R è identificato con l'identità.

Detto N il più piccolo sottogruppo normale contenente R (chiusura normale di R), si dimostra che:

\langle S \mid R \rangle = \frac{\langle S \rangle}{N}

Gli elementi di S sono detti generatori di \langle S \mid R \rangle , gli elementi di R sono detti relatori; questi elementi esprimono in effetti delle relazioni di uguaglianza tra gli elementi di S, che nella loro forma più semplice possono essere espressi come x = 1, dove x \in R e 1 è l'identità di \langle S \mid R \rangle.

Presentazioni finite[modifica | modifica sorgente]

Una presentazione \langle S \mid R \rangle è detta finitamente generata se l'insieme S dei generatori è finito, finitamente relazionata se è finito l'insieme R delle relazioni, finita se sono finiti sia S che R.

Ogni gruppo finito possiede una presentazione finita, che si ricava direttamente dalla sua tavola di composizione: è sufficiente prendere S = G e R come l'insieme formato da tutti gli elementi del tipo g_i g_j g_k^{-1}, dove g_i g_j = g_k è una entrata della tavola di composizione.

Presentazione ricorsiva[modifica | modifica sorgente]

Se S è indicizzato da un insieme I \subseteq \mathbb{N}, esiste una funzione biiettiva f:\langle S \rangle \rightarrow\mathbb{N} e un algoritmo che, dato f(w) \in \mathbb{N} permette di trovare w \in \langle S \rangle e viceversa (numerazione di Gödel). Dato un insieme U \subseteq \langle S \rangle, diciamo che U è ricorsivo o ricorsivamente numerabile se lo è f(U) \in \mathbb{N}.

Se l'insieme delle relazioni è ricorsivamente numerabile, la presentazione è detta ricorsiva; in questo caso è sempre possibile trovare una presentazione del gruppo per cui l'insieme delle relazioni è ricorsivo (giustificando la sovrapposizione delle due notazioni).

Ogni gruppo finito ha una presentazione ricorsiva, mentre non è vero l'inverso. Un teorema dovuto a Graham Higman stabilisce che un gruppo finitamente generato ha una presentazione ricorsiva se e solo se è immerso in un gruppo a presentazione ricorsiva. Segue che, a meno di isomorfismi, esiste solo una quantità numerabile di gruppi a presentazione ricorsiva. Bernhard Neumann ha mostrato che esiste una quantità più che numerabile di gruppi a due generatori; pertanto esistono gruppi finitamente generati che non possono essere presentati ricorsivamente.

Proprietà[modifica | modifica sorgente]

Per le presentazioni di un gruppo valgono le seguenti proprietà:

  • ogni gruppo ha una presentazione;
  • ogni gruppo finito ha una presentazione finita;
  • in generale, esistono delle presentazioni per le quali nessun algoritmo è in grado di decidere se due parole descrivano lo stesso elemento del gruppo (problema delle parole);
  • dati due gruppi G e H di presentazioni \langle S \mid R \rangle e \langle T \mid Q \rangle, con S e T disgiunti, il prodotto libero G \star H ha presentazione \langle S, T \mid R, Q \rangle;
  • dati due gruppi G e H di presentazioni \langle S \mid R \rangle e \langle T \mid Q \rangle, con S e T disgiunti, il prodotto diretto G \times H ha presentazione \langle S, T \mid R, Q, [S,T] \rangle;

Esempi di presentazioni di gruppi[modifica | modifica sorgente]

Nella tabella seguente sono riportate alcune presentazioni di gruppi di uso comune; molti di questi gruppi possiedono numerose altre possibili presentazioni che qui non sono riportate.

Gruppo Presentazione Note
Gruppo libero su S \langle S \mid \varnothing \rangle Un gruppo libero non è soggetto ad alcuna relazione tra i suoi elementi.
Gruppo libero abeliano su S \langle S \mid R \rangle, dove R è l'insieme di tutti i commutatori di S.
Gruppo simmetrico S_n \langle \sigma_1, \ldots , \sigma_{n-1} \mid \sigma_i^2 , [ \sigma_i, \sigma_j], \sigma_i [ \sigma_{i+1} \sigma_i ] \sigma_{i+1}^{-1} \rangle, dove la seconda relazione vale per j \neq i \pm 1. La terza relazione si può sostituire con (\sigma_i \sigma_{i+1})^3, utilizzando la prima relazione. \sigma_i è la permutazione che scambia l'i-esimo elemento con l'i+1-esimo. Il prodotto \sigma_i \sigma_{i+1} è un 3-ciclo sull'insieme \{ i, i + 1, i + 2 \}.
Gruppo di trecce B_n \langle \sigma_1, \ldots , \sigma_{n-1} \mid [ \sigma_i, \sigma_j], \sigma_i [ \sigma_{i+1} \sigma_i ] \sigma_{i+1}^{-1} \rangle, dove la prima relazione vale per j \neq i \pm 1. L'unica differenza con il gruppo simmetrico è la mancanza della relazione {\sigma_i}^2 = 1.
C_n, gruppo ciclico di ordine n \langle a \mid a^n \rangle
D_{2n}, gruppo diedrale di ordine n \langle r, f \mid r^n, f^2, (rf)^2 \rangle r rappresenta una rotazione, f una riflessione.
D_\infty, gruppo diedrale infinito \langle r, f \mid f^2, (rf)^2 \rangle
Dic_n, gruppo diciclico \langle r, f \mid r^{2n}, r^n f^{-2}, frf^{-1}r \rangle
Gruppo dei quaternioni Q \langle i, j \mid i^4, i^2 j^2, ijij^{-1} \rangle Equivale al gruppo diciclico Dic_2.
Il gruppo tetraedrale T \cong A_4 \langle s,t \mid s^2, t^3, (st)^3 \rangle È il gruppo delle simmetrie di un tetraedro che conservano l'orientamento.
Il gruppo ottaedraleO \cong S_4 \langle s,t \mid s^2, t^3, (st)^4 \rangle È il gruppo delle simmetrie di un ottaedro che conservano l'orientamento.
Il gruppo icosaedrale I \cong A_5 \langle s,t \mid s^2, t^3, (st)^5 \rangle È il gruppo delle simmetrie di un icosaedro che conservano l'orientamento.
\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \langle x, y \mid [x, y] \rangle
\mathbb{Z}_m \times \mathbb{Z}_n \langle x, y \mid x^m, y^n, [x, y] \rangle

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ È sempre possiible definire due elementi (x,1) \in I \times \{-1,1\} e (x,-1) \in I \times \{-1,1\}, che si identificano rispettivamente con x e x^{-1}

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • (EN) D. L. Johnson, Presentations of Groups. Cambridge, Cambridge University, 1990. ISBN 0-521-37824-9
  • (EN) H. S. M Coxeter, W. O. J. Moser, Generators and Relations for Discrete Groups. New York, Springer-Verlag, 1980. ISBN 0-387-09212-9

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]


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