Classe di coniugio

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In matematica e specialmente in teoria dei gruppi, gli elementi di un gruppo possono essere divisi in classi di coniugio; gli elementi di una stessa classe di coniugio condividono molte proprietà, e il loro studio nel caso di gruppi non abeliani può essere di aiuto per la comprensione della loro struttura. Nel caso di gruppi abeliani, al contrario, ogni classe di coniugio è formata da un singolo elemento del gruppo.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Sia un gruppo. Due elementi e di sono detti coniugati se esiste un terzo elemento in tale che . Si dimostra che la relazione di coniugio è una relazione di equivalenza, ed esiste quindi una partizione di in classi di equivalenza dette classi di coniugio:

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

  • L'unità appartiene sempre ad una propria classe di coniugio, in particolare: .
  • Se è abeliano, per ogni in .
  • Se due elementi e appartengono alla stessa classe di coniugio, allora condividono lo stesso ordine.
  • Un elemento di appartiene al centro di se e solo se la sua classe di coniugio è formata solo dall'elemento stesso.
  • Se due elementi e sono coniugati, allora lo sono anche le loro potenze di ordine , cioè e .

Coniugio come azione di gruppi[modifica | modifica wikitesto]

Si può definire l'azione di coniugio come l'azione di in se stesso:

Le orbite dell'azione di coniugio non sono altro che le classi di coniugio, mentre lo stabilizzatore di ogni elemento è il suo centralizzatore (o centralizzante).

Una formula importante che lega il concetto di centralizzante (o centralizzatore) di un elemento con la classe di coniugio dello stesso è:

[1]

Con la classe di coniugio di e con l'indice in del centralizzante di tramite .

Allo stesso modo si può definire l'azione di sulla famiglia dei sottoinsiemi o dei sottogruppi di :

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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  1. ^ Jacobson, Nathan, 1910-1999., Basic algebra, 2nd ed., Dover ed, Dover Publications, 2009, ISBN 9780486471891, OCLC 294885194. URL consultato l'8 novembre 2018.