Classe di coniugio

In matematica e specialmente in teoria dei gruppi, gli elementi di un gruppo possono essere divisi in classi di coniugio; gli elementi di una stessa classe di coniugio condividono molte proprietà, e il loro studio nel caso di gruppi non abeliani può essere di aiuto per la comprensione della loro struttura. Nel caso di gruppi abeliani, al contrario, ogni classe di coniugio è formata da un singolo elemento del gruppo.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Sia $G$ un gruppo. Due elementi $a$ e $b$ di $G$ sono detti coniugati se esiste un terzo elemento $g$ in $G$ tale che $gag^{-1}=b$ . Si dimostra che la relazione di coniugio è una relazione di equivalenza, ed esiste quindi una partizione di $G$ in classi di equivalenza dette classi di coniugio:

\operatorname {Cl} (a)=\{gag^{-1}:g\in G\}

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

L'unità appartiene sempre ad una propria classe di coniugio, in particolare: $Cl(e)=\{e\}$ .
Se $G$ è abeliano, $Cl(a)=\{a\}$ per ogni $a$ in $G$ .
Se due elementi $a$ e $b$ appartengono alla stessa classe di coniugio, allora condividono lo stesso ordine.
Un elemento di $G$ appartiene al centro $Z(G)$ di $G$ se e solo se la sua classe di coniugio è formata solo dall'elemento stesso.
Se due elementi $a$ e $b$ sono coniugati, allora lo sono anche le loro potenze di ordine $k$ , cioè $a^{k}$ e $b^{k}$ .

Coniugio come azione di gruppi[modifica | modifica wikitesto]

Si può definire l'azione di coniugio come l'azione di $G$ in se stesso:

g\cdot x=gxg^{-1}.

Le orbite dell'azione di coniugio non sono altro che le classi di coniugio, mentre lo stabilizzatore di ogni elemento è il suo centralizzatore (o centralizzante).

Una formula importante che lega il concetto di centralizzante (o centralizzatore) di un elemento con la classe di coniugio dello stesso è:

$|G\circ x|=|\{gxg^{-1}\in G|g\in G\}|=[G:C_{G}(x)],$ ^[1]

Con $G\circ x$ la classe di coniugio di $x$ e con $[G:C_{G}(x)]$ l'indice in $G$ del centralizzante di $x$ tramite $G$ .

Allo stesso modo si può definire l'azione di $G$ sulla famiglia dei sottoinsiemi o dei sottogruppi di $G$ :

g\cdot S=gSg^{-1}=\{gxg^{-1}:x\in S\}.

Note[modifica | modifica wikitesto]

^ Jacobson, Nathan, 1910-1999., Basic algebra, 2nd ed., Dover ed, Dover Publications, 2009, ISBN 9780486471891, OCLC 294885194. URL consultato l'8 novembre 2018.