Sottogruppo

Un sottoinsieme H di un gruppo G è un sottogruppo se è un gruppo con l'operazione definita in G.

Ogni gruppo G contiene almeno due sottogruppi: il gruppo G stesso, ed il sottogruppo banale formato unicamente dall'elemento neutro di G (naturalmente questi coincidono se $G$ ha un solo elemento).

Un sottogruppo si dice proprio se H è un sottoinsieme proprio di G.

Proprietà dei sottogruppi

Nel seguito, sia $G$ un gruppo rispetto all'operazione $*$, e sia $a^{-1}$ l'inverso di $a\in G$.

Definizioni alternative

H è un sottogruppo di G se e solo se è non-vuoto, ed è chiuso rispetto al prodotto e all'inverso. In altre parole:

• per ogni a e b in H, il loro prodotto $a*b$ è ancora in H;
• per ogni a in H l'inverso $a^{-1}$ è ancora in H.

Alternativamente, possiamo chiedere che:

• per ogni a e b in H il prodotto $a*b^{-1}$ è ancora in H.

Se H è finito, è un sottogruppo se e solo se è non vuoto, e chiuso rispetto al prodotto.

Intersezione e generatori

L'intersezione di due sottogruppi H e H' è ancora un sottogruppo di G. Invece l'unione insiemistica di due sottogruppi è un sottogruppo se e solo se uno dei due sottogruppi contiene l'altro.

Se S è un sottoinsieme di G, esiste un sottogruppo più piccolo fra quelli che contengono S, che viene indicato con <S> e chiamato il sottogruppo generato da S. Un elemento di G è in <S> se e solo se è il prodotto di un numero finito di elementi di S o dei loro inversi.

Ogni elemento a genera quindi un sottogruppo ciclico <a>. Se <a> è isomorfo a Z/nZ per qualche intero positivo n, allora n è il più piccolo naturale per cui aⁿ = e, e n è l'ordine di a. Se <a> è isomorfo a Z, allora a ha ordine infinito.

I sottogruppi formano un reticolo completo con l'inclusione.

Proprietà preservate

• Un sottogruppo di un gruppo finito è finito.
• Un sottogruppo di un gruppo abeliano è abeliano.
• Un sottogruppo di un gruppo ciclico è ciclico.

Esempi

Sia G il gruppo abeliano i cui elementi sono

G={0,2,4,6,1,3,5,7}

e la cui operazione è l'addizione modulo 8, riassunta nella tavola di composizione seguente.

+	0	2	4	6	1	3	5	7
0	0	2	4	6	1	3	5	7
2	2	4	6	0	3	5	7	1
4	4	6	0	2	5	7	1	3
6	6	0	2	4	7	1	3	5
1	1	3	5	7	2	4	6	0
3	3	5	7	1	4	6	0	2
5	5	7	1	3	6	0	2	4
7	7	1	3	5	0	2	4	6

Questo gruppo ha due sottogruppi non banali: J={0,4} e H={0,2,4,6}, dove J è anche un sottogruppo di H.

Classi laterali e Teorema di Lagrange

Sia H un sottogruppo di G. La relazione su G

$a\sim b\Leftrightarrow ab^{-1}\in H$

è una relazione d'equivalenza, e induce quindi una partizione di G.

Dato un elemento a, la classe laterale destra di H associata ad a è l'insieme

$Ha=\{ha|h\in H\}.$

Si dimostra facilmente che i sottoinsiemi che formano la partizione di G sono le classi laterali destre di H. Due elementi a e a' danno la stessa classe destra se e solo se sono in relazione d'equivalenza. Il numero di queste classi è detto l'indice di H in G ed è indicato dal simbolo [G : H].

Poiché a è invertibile, la mappa

$\phi :H\rightarrow Ha,\quad \phi (h)=ha$

è una biiezione, per ogni a. Da questo fatto segue il teorema di Lagrange, che dice che se G è finito

$[G:H]={o(G) \over o(H)}$

dove o(G) e o(H) sono gli ordini (cioè il numero di elementi) di G e H.

Quindi, se H è un sottogruppo di un gruppo finito G, l'ordine di H deve dividere l'ordine di G.

Si definiscono analogamente le classi laterali sinistre, ottenendo lo stesso risultato. Se aH = Ha per ogni a (cioè le classi sinistre e destre coincidono), allora H è un sottogruppo normale.

Voci correlate

• Gruppo (matematica)
• Sottogruppo normale

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Sottogruppo, su MathWorld, Wolfram Research.