Serie di Bell

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In matematica, per serie di Bell si intende una serie formale di potenze utilizzata per studiare le proprietà delle funzioni aritmetiche moltiplicative. Questo genere di serie è stato introdotto e sviluppato da Eric Temple Bell.

Consideriamo una funzione aritmetica e un numero primo , si definisce come serie di Bell di modulo la serie formale di potenze espressa come

.

Vale un teorema di unicità. Date due funzioni moltiplicative e , accade che se e solo se

per tutti i primi .

Vale anche un teorema di moltiplicazione: Per ogni coppia di funzioni aritmetiche e , denotiamo con la loro convoluzione di Dirichlet. Allora per ogni numero primo si ha

.

In particolare, questo rende agevole trovare la serie di Bell di una serie di una inversa di Dirichlet.

Se è una funzione completamente moltiplicativa, allora

.

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

La seguente tabella presenta le funzioni aritmetiche più note, ciascuna seguita dalla sua serie di Bell.

  • Funzione di Möbius .
  • Totient di Eulero .
  • Funzione identità .
  • Funzione di Liouville .
  • Funzione potenza .
  • Funzione divisore .

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Tom M. Apostol (1976): Introduction to Analytic Number Theory, Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90163-9 (Chapter 2.16).


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