Serie di Bell

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In matematica, per serie di Bell si intende una serie formale di potenze utilizzata per studiare le proprietà delle funzioni aritmetiche moltiplicative. Questo genere di serie è stato introdotto e sviluppato da Eric Temple Bell.

Consideriamo una funzione aritmetica e un numero primo , si definisce come serie di Bell di modulo la serie formale di potenze espressa come

Vale un teorema di unicità: date due funzioni moltiplicative e , accade che se e solo se per tutti i primi

Vale anche un teorema di moltiplicazione: per ogni coppia di funzioni aritmetiche e , denotiamo con la loro convoluzione di Dirichlet. Allora per ogni numero primo si ha

In particolare, questo rende agevole trovare la serie di Bell di una serie di una inversa di Dirichlet.

Se è una funzione completamente moltiplicativa, allora

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

Il seguente elenco presenta le serie di Bell delle funzioni aritmetiche più note.

  • Funzione di Möbius:
  • Funzione toziente di Eulero:
  • Funzione di Liouville:
  • Funzione potenza -esima (con intero non negativo):
  • Funzione sigma:

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Tom M. Apostol (1976): Introduction to Analytic Number Theory, Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90163-9 (Chapter 2.16).


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