Formula di inversione di Möbius

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In matematica, e in particolare in teoria dei numeri, la formula di inversione di Möbius è una formula che lega due funzioni aritmetiche, l'una delle quali è somma dei divisori dell'altra, attraverso la funzione di Möbius. Fu introdotta da August Ferdinand Möbius nel XIX secolo.

Afferma che date due funzioni aritmetiche f e g, l'uguaglianza

vale se e solo se si ha

dove la somma è estesa a tutti i divisori di n e è la funzione di Möbius.

La formula di inversione di Möbius può essere generalizzata a funzioni di variabile complessa.

Convoluzione e formula di inversione[modifica | modifica wikitesto]

La formula può essere riscritta attraverso l'operazione di convoluzione di Dirichlet *: se g e f sono funzioni aritmetiche allora:

se e solo se:

dove per ogni n.

Questo punto di vista offre una semplice via per arrivare alla dimostrazione: basta infatti dimostrare che e N0 sono l'una l'inversa dell'altra secondo l'operazione di convoluzione, cioè che

La prima uguaglianza è semplicemente la definizione di convoluzione; la seconda si ricava facilmente dal fatto che alla sommatoria contribuiscono solo i divisori di n privi di quadrati: se n ha m fattori primi distinti il contributo alla sommatoria da parte dei divisori di n privi di quadrati con j fattori primi distinti è , e quindi:

A questo punto è sufficiente osservare che se , allora usando la convoluzione per la funzione di Mobius ad entrambi i membri si ha

che è la tesi. Nell'ultimo passaggio si sfrutta il fatto che la funzione che vale 1 per n=1 e 0 per n>1, convoluta con ogni funzione f, dà la stessa f.

Seconda formula di inversione di Mobius[modifica | modifica wikitesto]

Sia h una funzione aritmetica moltiplicativa; allora:

se e solo se:

dove è l'inversa di .

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

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