Valutazione p-adica

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In teoria dei numeri, per un dato numero primo , la valutazione p-adica di un intero diverso da zero è il maggiore esponente tale che divida . La valutazione p-adica di 0 è per definizione infinito. È comunemente denotato come . Se è un numero razionale ai minimi termini, così che e siano primi tra loro, allora è uguale a se divide , oppure è uguale a se divide , mentre è uguale a 0 se non divide nessuno dei due. L'applicazione maggiore della valutazione p-adica è nella costruzione del campo dei numeri p-adici.[1]

Definizione e proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Numeri interi[modifica | modifica wikitesto]

Se appartiene a , allora la valutazione p-adica per è definita come [2]

Numeri razionali[modifica | modifica wikitesto]

La valutazione p-adica può essere estesa ai numeri razionali. SI può definire come [3]

Alcune proprietà sono:

In aggiunta, se allora

dove è l'infimo (il minore tra i due).

Il valore assoluto p-adico[modifica | modifica wikitesto]

Il valore assoluto p-adico su è definito come

Il valore assoluto p-adico soddisfa le seguenti proprietà:

Non-negatività
Definizione positiva
Moltiplicatività
Subadditività
Ultrametricità
Simmetria

Uno spazio metrico può essere formato sull'insieme con un metrico definito da

A volte ci si riferisce al valore assoluto p-adico come "norma p-adica", nonostante non sia una norma in quando non soddisfa il requisito di omogeneità.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ David S. Dummit e Richard M. Foote, Abstract Algebra, 3rd, Wiley, 2003, ISBN 0-471-43334-9.
  2. ^ K. Ireland e M. Rosen, A Classical Introduction to Modern Number Theory, New York, Springer-Verlag, 2000, p. 3.Template:ISBN needed
  3. ^ A. Khrennikov e M. Nilsson, Template:Mvar-adic Deterministic and Random Dynamics, Kluwer Academic Publishers, 2004, p. 9.Template:ISBN needed