Identità di Legendre-de Polignac

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In teoria dei numeri, l'identità di Legendre-de Polignac (o anche solo identità di Legendre), da Adrien-Marie Legendre e Alphonse de Polignac, fornisce l'esponente della maggiore potenza di un numero primo che divide il fattoriale dove è un intero.

L'identità[modifica | modifica wikitesto]

Per ogni numero primo e ogni intero positivo, con indica l'esponente della maggiore potenza di un numero primo che divide (la valutazione p-adica di ). Allora

dove rappresenta la parte intera di Per ogni tale che , si ha

A ciò segue la disuguaglianza

Esempio[modifica | modifica wikitesto]

Per si ha . Gli esponenti e possono essere ottenuti dalla identità di Legendre in questo modo:

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Essendo il prodotto degli interi da a otteniamo almeno un fattore di in per ogni multiplo di in che sono in numero pari a . Ogni multiplo di apporta un ulteriore fattore di ogni multiplo di apporta ancora un altro fattore di ecc. La somma del numero di questi fattori produce la somma infinita per .

Forma alternativa[modifica | modifica wikitesto]

Si può riformulare l'identità di Legendre-de Polignac in termini dell'espansione in base di Con si denota la somma delle cifre dell'espansione in base di Allora

Esempio[modifica | modifica wikitesto]

Scrivendo in binario come abbiamo che e quindi

Similmente, scrivendo in ternario come abbiamo che e quindi

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Scrivendo in base si ottiene che Allora

Applicazioni[modifica | modifica wikitesto]

L'identità di Legendre-de Polignac è utilizzata per dimostrare il teorema di Kummer. Può anche essere utilizzata per dimostrare che se è un intero positivo, allora divide se e solo se non è una potenza di

Segue all'identità di Legendre-de Polignac che la funzione esponenziale p-adica ha raggio di convergenza .

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Tom M. Apostol (1976): Introduction to Analytic Number Theory, Springer, (Chapter 3.11)
  • Legendre, A. M. (1830), Théorie des Nombres, Paris: Firmin Didot Frères
  • Moll, Victor H. (2012), Numbers and Functions, American Mathematical Society, ISBN 978-0821887950, MR 2963308, page 77
  • Leonard Eugene Dickson, History of the Theory of Numbers, Volume 1, Carnegie Institution of Washington, 1919, page 263.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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