Funzione subadditiva

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In matematica, una funzione subadditiva è una funzione f: A \to B, con dominio A e codominio B chiusi rispetto all'addizione tale che valga la seguente proprietà:

\forall x, y \in A, \quad f(x+y) \leq f(x)+f(y)\,\!.

La definizione può essere data in generale per A e B semigruppi, con l'ipotesi che B sia un insieme ordinato.

Un esempio è la funzione radice quadrata, con dominio e codominio i numeri reali non negativi, infatti \forall x, y \geq 0 vale:

\sqrt{x+y}\leq \sqrt{x}+\sqrt{y}.

Una successione \left \{ a_n \right \}, n \geq 1 è detta subadditiva se soddisfa la disuguaglianza

a_{n+m}\leq a_n+a_m

per ogni m e n. L'importanza delle sequenze subadditive è data dal seguente lemma dovuto a Michael Fekete.

Lemma: Per ogni successione subadditiva {\left \{ a_n \right \}}_{n=1}^\infty, il limite \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{n}   esiste ed è uguale a   \inf \frac{a_n}{n}\,\!.   (Il limite può essere -\infty\,\!.)

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