Spazio ultrametrico

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In matematica, e più precisamente in topologia, uno spazio ultrametrico è uno speciale spazio metrico che soddisfa una versione rinforzata della disuguaglianza triangolare.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Uno spazio ultrametrico è un insieme di punti X con una funzione che soddisfi le seguenti proprietà per ogni x,y,z in X:

  1. se e solo se

La funzione d è detta ultrametrica (o supermetrica o metrica non archimedea).

Esempi di spazi ultrametrici[modifica | modifica wikitesto]

  • Un linguaggio formale, cioè un insieme di stringhe di lunghezza arbitraria su un dato alfabeto, munito della distanza che associa a due stringhe che differiscono per la prima volta nell'n-esima posizione;
  • I numeri p-adici con la metrica data da , dove n è l'unico intero tale che (con a e b interi non divisibili per p). Tale spazio è anche completo;
  • Lo spazio delle successioni complesse con la metrica indotta dalla funzione , dove è una data successione reale decrescente a zero.

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Se x, y e z sono tre punti di uno spazio ultrametrico, non è possibile che le distanze tra due di essi siano tutte diverse. Infatti, se così fosse, tra di esse ci sarebbe un massimo, che evidentemente non potrebbe soddisfare la proprietà 4 della definizione. Per rendere intuitiva questa proprietà si può dire, un po' impropriamente, che in uno spazio ultrametrico tutti i triangoli sono isosceli.

Definendo inoltre la palla esattamente come in uno spazio metrico, cioè allora

  • Ogni punto all'interno di una palla è il suo centro;
  • Se due palle si intersecano, allora una è contenuta nell'altra;
  • Tutte le palle sono sia aperte che chiuse nella topologia indotta;
  • L'insieme delle palle di raggio r centrate nei punti di una palla chiusa avente lo stesso raggio forma una partizione di quest'ultima.

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