Lemma di Gauss (teoria dei numeri)

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In teoria dei numeri, il lemma di Gauss, che ha preso il nome da Carl Friedrich Gauss, è un teorema utilizzato in alcune dimostrazioni della reciprocità quadratica.

Per ogni primo dispari , sia un intero coprimo con . Si considerino gli interi:

e i loro residui modulo ridotti nell'intervallo . Sia il numero di questi residui che sono negativi. Allora:

dove è il simbolo di Legendre. Da un punto di vista piuttosto sofisticato, ciò rappresenta un caso di trasferimento.

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Per il criterio di Eulero si sa che

moltiplicando entrambi i membri per il fattoriale di

consideriamo adesso i residui di ridotti nell'intervallo . Allora:

  • non ci sono due residui uguali; infatti se
allora , ed essendo , ciò e possibile solo se
  • non ci sono due residui opposti; infatti se
allora ma essendo ciò è impossibile.

Di conseguenza i valori assoluti dei residui sono tutti diversi e il loro prodotto vale

dove è il numero dei residui negativi, quindi

e semplificando per il fattoriale di si ottiene la tesi:

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Harold Davenport, Aritmetica superiore, Bologna, Zanichelli, 1994, ISBN 88-08-09154-6.
  • Tom M. Apostol, Introduction to Analytic Number Theory, New York, Springer-Verlag, 1976, ISBN 0-387-90163-9.
  • Trygve Nagell, Introduction to number theory, 2ª ed., New York, Chelsea, 2001, ISBN 0-8218-2833-9.

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Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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