Lemma di Thue

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Il lemma di Thue, chiamato così dal matematico norvegese Axel Thue, è un lemma della teoria dei numeri che afferma che, per ogni numero primo p e per ogni intero , la congruenza

(dove indica l'operazione modulo).

ammette una soluzione tale che .

Può essere usato per dimostrare il teorema di Fermat sulle somme di due quadrati.

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Consideriamo i numeri ax - y (modulo p) tali che

dove [a] indica la funzione parte intera di a (ovvero il più grande intero non maggiore di a). Questi valori sono in numero di . Quindi esistono due coppie e tali che ; inoltre , perché altrimenti si avrebbe

e quindi e le coppie non sarebbero distinte. Consideriamo l'espressione

Questa è palesemente congrua a 0 modulo n. è la differenza tra due quantità minori di , e quindi è essa stessa minore di . Allo stesso modo . Quindi ponendo

si ha la coppia desiderata.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

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