Monomio

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In matematica un monomio è un'espressione algebrica costituita da un coefficiente ed una parte letterale dove compaiono solo moltiplicazioni. Questi sono tre esempi:

 3x, \ x^2y,\ -x^n.

Nell'ultimo esempio, l'esponente n è un numero naturale non specificato. In un monomio non compaiono somme o sottrazioni; una espressione del tipo

 x+3xy

dove compaiono anche delle somme algebriche è invece detta polinomio: un polinomio è quindi una somma di monomi.

Coefficiente e parte letterale[modifica | modifica sorgente]

Ogni monomio è diviso in due parti:

  • Il coefficiente del monomio è il termine con valore numerico esplicito, solitamente si trova all'inizio del monomio e quando questo è 1 viene solitamente sottinteso.
  • La parte letterale del monomio è costuita dall'insieme di lettere.

Ad esempio il monomio

 3x^2y

ha coefficiente 3 e parte letterale x^2y. I monomi

 xy, \ -x^n

hanno coefficiente 1 e -1 rispettivamente.

In alcuni contesti il coefficiente può contenere delle costanti non numeriche, indicate con delle lettere. Ad esempio l'espressione

2ax^2

può indicare un monomio avente coefficiente 2a e parte letterale x^2. Di solito si intende distinguere fra quelle lettere come a che rappresentano delle costanti e altre lettere come x che rappresentano le variabili.

Un monomio senza parte letterale è detto costante.

Il grado di un monomio[modifica | modifica sorgente]

Il grado di un monomio è la somma algebrica degli esponenti della parte letterale. Ad esempio, il monomio

 5x^2

ha grado 2. Le variabili senza esponente hanno come di consueto esponente 1 anche se non indicato esplicitamente: quindi

 3xy^3

ha grado 1+3 = 4: le variabili x e y hanno infatti esponente 1 e 3 rispettivamente.

I monomi costanti sono precisamente quelli con grado zero.

Monomi simili[modifica | modifica sorgente]

I monomi ridotti in forma normale aventi la stessa parte letterale, con gli stessi esponenti, si dicono monomi simili. Ad esempio

3xz \;\;\; -\frac{3}{2}xz \;\;\; -5xz sono monomi simili
\frac{3}{7}y^2z^3 \;\;\; y^2z^3 \;\;\; -y^2z^3 sono monomi simili

Tra questi due monomi aventi il coefficiente con valore assoluto uguale e segno opposto si dicono opposti, mentre due monomi aventi lo stesso coefficiente si diranno appunto uguali.

Lo 0 viene chiamato monomio nullo. Una somma algebrica di monomi viene chiamata polinomio.

Operazioni fra monomi[modifica | modifica sorgente]

Addizione algebrica[modifica | modifica sorgente]

La somma algebrica di due o più monomi simili è un monomio simile ad essi, in cui il coefficiente è la somma algebrica dei coefficienti dei singoli monomi. Quando i monomi non sono simili la somma non può essere applicata e si lascia l'espressione inalterata. Quando si ha un'espressione con più monomi si deve sempre cercare di sommare i termini simili fino ad arrivare ad una forma non più modificabile.

Addizione algebrica di monomi simili[modifica | modifica sorgente]

L'addizione algebrica tra monomi simili è una operazione interna, ossia ha come risultato un monomio simile a quelli dati il cui coefficiente è la somma algebrica dei coefficienti. Operativamente, si raccoglie a fattor comune la parte letterale, applicando all'inverso la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione e poi si esegue la somma dei coefficienti numerici. Dei semplici esempi sono dati dalle seguenti somme:

 5b \, -3b \, +6b = (+5\,-3\,+6) \cdot b = 8b
 \frac{1}{2}a \, -\frac{5}{3}a \, +6a = \left(\frac{1}{2}\,-\frac{5}{3}\,+6\right) \cdot a = \left(\frac{3-10+36}{6}\right) \cdot a = \frac{29}{6}a
 2x^2y + 5x^2y = 7x^2y

Addizione algebrica di monomi non simili tra loro[modifica | modifica sorgente]

Quando i monomi non sono simili l'addizione algebrica non porta semplificazioni, l'espressione rimane inalterata ed il risultato non è più un monomio, ma un polinomio:

3a-y+\frac{2}{5}z

Addizione algebrica di monomi simili e non simili[modifica | modifica sorgente]

La somma algebrica viene fatta solo tra monomi simili lasciando inalterati gli altri:

 2a + 3x -3a + 7xy +6a -2b = a \cdot (2-3+6) + 3x + 7xy -2b = 5a + 3x + 7xy -2b

questo procedimento viene anche detto riduzione dei termini simili.

Prodotto[modifica | modifica sorgente]

Il prodotto di due o più monomi è il monomio che ha per coefficiente il prodotto dei coefficienti dei singoli monomi e come parte letterale il prodotto delle loro parti letterali. Ogni fattore letterale ha l'esponente uguale alla somma degli esponenti che esso ha nei singoli monomi.

Considerando ad esempio il prodotto tra 5ab^3y^2 e -3a^3b^5, il prodotto dei coefficienti è:

(5) \cdot (-3)=-15

mentre quello delle parti letterali è:

ab^3y^2 \cdot a^3b^5=a \cdot a^3 \cdot b^3 \cdot b^5 \cdot y^2 = a^{1+3}b^{3+5}y^2 = a^4b^8y^2

quindi il prodotto dei singoli monomi risulta essere

 5ab^3y^2 \cdot (-3a^3b^5) = -15a^4b^8y^2

Altri esempi di moltiplicazione tra monomi:

4ay \cdot 3a^2x=12a^3xy
-4x^2y^2 \cdot -\frac{1}{2}x^3z = 2x^5y^2z
2xy \cdot 3x^2a \cdot -x^4a^3b = -6x^7ya^4b

Elevamento a potenza[modifica | modifica sorgente]

La potenza di un monomio è il monomio che ha per coefficiente la potenza del coefficiente e per parte letterale la potenza di ciascun fattore letterale del monomio. Considerando il monomio -2ab^3x^2 calcolare il suo cubo vuol dire moltiplicare 3 volte per se stesso il monomio:

(-2ab^3x^2)^3 = (-2ab^3x^2) \cdot (-2ab^3x^2) \cdot(-2ab^3x^2)

che per le regole del prodotto viste sopra diventa:

(-2ab^3x^2)^3 = -8a^3b^9x^6

Altre potenze di monomi sono:

 (2xy^2)^3 = 2^3x^3(y^2)^3 = 8x^3y^6
 (-\frac{1}{3}x^3yz^2)^2 = \frac{1}{9}x^6y^2z^4

Divisione[modifica | modifica sorgente]

In alcuni casi molto particolari, anche il quoziente di due monomi è un monomio:

Esempio[modifica | modifica sorgente]

 2x^2y / xy = 2x

Questo accade però solo in casi molto particolari, cioè quando il grado del monomio dividendo è maggiore o uguale del monomio divisore e quando le lettere che compaiono nel divisore si trovano, con grado maggiore o uguale, anche nel dividendo. In generale, un monomio che contiene delle lettere non ha un inverso (rispetto alla moltiplicazione). Ad esempio, dato il monomio

 2xy

non esiste nessun altro monomio che, moltiplicato per  2xy , dia come risultato 1. Questo perché la moltiplicazione fra monomi può solo incrementare il numero di lettere coinvolte, e non può eliminarle.

Minimo comune multiplo[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Minimo comune multiplo.

Minimo comune multiplo tra due monomi è definito come quel monomio di grado minimo che è divisibile per i due dati. I minimi comuni multipli tra due monomi sono infiniti, essi infatti possono avere qualsiasi coefficiente.

Per determinare la parte letterale dell'm.c.m. tra due monomi si prendono tutte le lettere, comuni e non comuni, dei monomi con il loro massimo esponente.

Per quanto riguarda il coefficiente, per convenzione, si utilizza l'm.c.m. tra i coefficienti quando è possibile calcolarlo, altrimenti 1.

Esempio:

 m.c.m.(2x^{2}y^{2}; 3x^{3}yz^{2}) = 6x^{3}y^{2}z^{2}
 m.c.m.(-\frac{2}{3}xy^{3}z^{4}; 3xy^{2}z^{5}) = xy^{3}z^{5}

Massimo comune divisore[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Massimo comune divisore.

Massimo comune divisore tra due monomi è definito come quel monomio di grado massimo che divide i due dati. I massimi comuni divisori tra due monomi sono infiniti, essi infatti possono avere qualsiasi coefficiente.

Altre definizioni[modifica | modifica sorgente]

I monomi descritti sopra sono tutti in forma normale, cioè espressi come un unico coefficiente numerico che moltiplica delle lettere, ciascuna delle quali compare una volta sola con un certo esponente. Lo stesso monomio può però essere espresso anche in altre forme, posizionando in modo diverso i suoi elementi. Ad esempio, le scritture

4 x^2y, \quad 4 xyx, \quad 2y2x^2

rappresentano tutte lo stesso monomio, scritto in modi diversi. Solo la prima di esse rappresenta il monomio in forma normale.

In alcuni casi si ammette la presenza nel monomio di esponenti negativi: in questo caso, il monomio è in realtà una frazione algebrica:

 2x^2y^{-3}z = 2\frac {x^2z}{y^3}.

In questo caso si parla di monomi frazionari (o fratti). In questo contesto, gli usuali monomi con esponenti esclusivamente positivi sono detti interi.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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