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Frazione algebrica

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In algebra e algebra computazionale, una frazione algebrica è una frazione il cui numeratore e denominatore sono espressioni ottenute componendo ripetutamente polinomi e potenze con esponente razionale. Due esempi di frazione algebrica sono e . Le frazioni algebriche sono soggette alle stesse regole delle frazioni numeriche.

Una frazione razionale è una frazione algebrica il cui numeratore e denominatore sono entrambi polinomi; in algebra e in geometria algebrica, il termine funzione razionale viene a volte usato come sinonimo di "frazione razionale". Un esempio di frazione razionale è , mentre invece non lo è, poiché il numeratore contiene una funzione radice quadrata. Una frazione algebrica può essere vista come un caso particolare di funzione algebrica, e una funzione algebrica che corrisponde a una frazione algebrica si dice esprimibile per radicali.

Nella frazione algebrica , il dividendo a è detto il numeratore e il divisore b è detto il denominatore. Il numeratore e il denominatore sono detti termini della frazione algebrica.

Una frazione è ridotta ai minimi termini se l'unico fattore comune al numeratore e al denominatore è 1.

Una frazione algebrica che sia ottenuta come ripetuta composizione di polinomi e potenze razionali si dice intera. Il denominatore di una frazione algebrica intera è 1.

Frazioni razionali

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Se le espressioni a e b sono polinomi, la frazione algebrica è detta razionale [1]. Le frazioni razionali sono dette anche espressioni razionali. Una frazione razionale è detta propria se , e impropria altrimenti. Per esempio, la frazione razionale è propria, e le frazioni razionali e sono improprie. Ogni frazione razionale impropria può essere espressa come la somma di un polinomio (eventualmente costante) e una frazione razionale propria. Nel primo esempio si ha

dove il secondo termine della somma è una frazione razionale propria. La somma di due frazioni razionali proprie è una frazione razionale propria. Il processo inverso, consistente nell'esprimere una frazione razionale propria come somma di due o più frazioni razionali prende il nome di risolvere la frazione iniziale in frazioni parziali. Per esempio,

In questo contesto, i due termini al secondo membro si dicono frazioni parziali.

Frazioni irrazionali

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Una frazione irrazionale è una frazione algebrica non razionale, in particolare essa contiene la variabile sotto esponente frazionario.[2] Un esempio di frazione irrazionale è

che equivale a

oppure

  1. ^ Bansi Lal, Topics in Integral Calculus, Laxmi Publications, 2006, p. 53, ISBN 9788131800027.
  2. ^ Washington McCartney, The principles of the differential and integral calculus; and their application to geometry, 1844, p. 203.

Voci correlate

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