Divisione dei polinomi

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In matematica, la divisione dei polinomi è un algoritmo che permette di trovare il quoziente tra due polinomi, di cui il secondo di grado non superiore al grado del primo. È un'operazione che si può svolgere a mano, poiché spezza il problema in varie divisioni tra monomi, facilmente calcolabili.

Ricordiamo che, se i polinomi sono a coefficienti reali (o più in generale in un campo) per ogni coppia di polinomi A(x) e B(x) esistono unici altri due polinomi Q(x) e R(x) tali che

A(x)=B(x) \cdot Q(x) + R(x)

posto che il grado di R(x) sia minore di quello di B(x). Questo fatto è proprio degli anelli euclidei, come sono gli anelli di polinomi costruiti su un campo.

Il grado di Q (x) sarà equivalente invece alla differenza tra il grado di A (x) e quello di B (x).

Nel caso in cui R (x) = 0, A(x) sarebbe divisibile per B (x).

L'algoritmo[modifica | modifica sorgente]

  1. Per prima cosa si scrivono i due polinomi in questo modo, facendo attenzione a scrivere esplicitamente anche i termini nulli di A(x) (ad esempio, x^2-1 andrà scritto come x^2+0x-1).
    A(x) B(x)
  2. Si divide il termine di grado massimo di A(x) per il termine di grado massimo di B(x) e si scrive il risultato sotto B(x).
    a_nx^n +\dots +a_0 b_mx^m+\dots+b_0
    \frac{a_nx^n}{b_mx^m}=q_kx^k
  3. Si moltiplica questo termine q_k x^k per il polinomio B(x) e si scrive il risultato sotto A(x), incolonnando ogni termine sotto il termine di A(x) di grado uguale.
    a_nx^n +\dots +a_0 b_mx^m+\dots+b_0
    b_mq_kx^{m+k} +\dots +b_0q_kx^k \frac{a_nx^n}{b_mx^m}=q_kx^k
  4. Si esegue la sottrazione tra A(x) e il polinomio scritto sotto di esso. Per costruzione, il termine in x^n si eliderà, lasciando un polinomio di grado minore (n-1 o anche meno).
    a_nx^n +\dots +a_0 b_mx^m+\dots+b_0
    b_mq_kx^{m+k} +\dots +b_0q_kx^k \frac{a_nx^n}{b_mx^m}=q_kx^k
    //+r_{n-1}x^{n-1} +\dots +r_0
  5. Se il grado di questo polinomio differenza R_1(x) è maggiore o uguale a quello di B(x) si ripetono le operazioni da 2 a 4 considerando adesso R_1 come dividendo e aggiungendo il termine
    \frac{r_{n-1}x^{n-1}}{b_m x^m}=q_{k-1}x^{k-1}
    a destra del termine q_k x^k, come addendo successivo.
  6. Quando si sarà raggiunto un polinomio R_i(x) di grado inferiore a B(x), allora tale polinomio R_i(x) sarà il resto R(x) della divisione; il polinomio
    Q(x)=q_k x ^k + q_{k-1}x^{k-1}+...+q_0,
    formatosi mano a mano sotto B(x), sarà invece il polinomio quoziente.

Esempio[modifica | modifica sorgente]

Per comprendere meglio l'algoritmo di divisione dei polinomi, in seguito viene svolto un esercizio d'esempio.

Dividiamo il polinomio

A(x)=3x^4-x^3

per il polinomio

B(x)=x^2-2

Passo 1[modifica | modifica sorgente]

Scriviamo i due polinomi A(x) e B(x) come nel modo illustrato più sopra. Così che ognuno dei due polinomi sia ordinato per grado (in modo decrescente) e siano esplicitati anche i monomi con coefficiente 0.

3x^4 -x^3 +0x^2 +0x +0 x^2-2

Passo 2[modifica | modifica sorgente]

Dividiamo il termine di grado maggiore di A(x), che risulta essere 3x^4, per il termine di grado maggiore di B(x), che è x^2 e scriviamo il risultato sotto B(x).

3x^4 -x^3 +0x^2 +0x +0 x^2-2
3x^2

Passo 3[modifica | modifica sorgente]

Ora scriviamo, sotto A(x), il polinomio ricavato moltiplicando il risultato della divisione dei termini di grado maggiore, per il polinomio B(x). Bisogna tenere conto dei termini con coefficiente nullo.

3x^4 -x^3 +0x^2 +0x +0 x^2-2
3x^4 +0x^3 -6x^2 +0x +0 3x^2

Si può notare che, come già detto nel caso generale, i termini di grado maggiore di A(x) e del polinomio scritto sotto A(x), sono uguali.

Passo 4[modifica | modifica sorgente]

Ora sottraiamo A(x) con il polinomio scritto al di sotto per ottenere il polinomio R_1(x).

3x^4 -x^3 +0x^2 +0x +0 x^2-2
3x^4 +0x^3 -6x^2 +0x +0 3x^2
// -x^3 +6x^2 +0x +0

Il grado di R_1(x)=-x^3+6x^2 è maggiore di quello di B(x), dunque iteriamo il procedimento.

Passo 2b[modifica | modifica sorgente]

Dividiamo il termine di grado maggiore di R_1 che risulta essere -x^3 per il termine di grado maggiore di B(x) e scriviamo il risultato accanto a quello ottenuto precedentemente.

3x^4 -x^3 +0x^2 +0x +0 x^2-2
3x^4 +0x^3 -6x^2 +0x +0 3x^2-x
// -x^3 +6x^2 +0x +0

Passo 3b[modifica | modifica sorgente]

Ora, come nel passo 3, moltiplichiamo il risultato della divisione appena eseguita che, nel nostro esempio risulta essere -x, per il polinomio B(x) e scriviamo il risultato della moltiplicazione sotto R_1(x).

3x^4 -x^3 +0x^2 +0x +0 x^2-2
3x^4 +0x^3 -6x^2 +0x +0 3x^2-x
// -x^3 +6x^2 +0x +0
-x^3 +0x^2 +2x +0

Passo 4b[modifica | modifica sorgente]

Eseguiamo la sottrazione tra il polinomio R_1(x) e il polinomio scritto sotto per ottenere R_2(x).

3x^4 -x^3 +0x^2 +0x +0 x^2-2
3x^4 +0x^3 -6x^2 +0x +0 3x^2-x
// -x^3 +6x^2 +0x +0
-x^3 +0x^2 +2x +0
// 6x^2 -2x +0

Dato che il grado di R_2(x) non è inferiore a quello di B(x) dobbiamo iterare ancora un'altra volta il procedimento.

Passo 2c[modifica | modifica sorgente]

Dividiamo il termine di grado superiore di R_2(x) per il termine di grado superiore di B(x).

3x^4 -x^3 +0x^2 +0x +0 x^2-2
3x^4 +0x^3 -6x^2 +0x +0 3x^2-x+6
// -x^3 +6x^2 +0x +0
-x^3 +0x^2 +2x +0
// 6x^2 -2x +0

Passo 3c[modifica | modifica sorgente]

Moltiplichiamo B(x) per il risultato della divisione appena eseguita e scriviamo il risultato della moltiplicazione sotto R_2(x).

3x^4 -x^3 +0x^2 +0x +0 x^2-2
3x^4 +0x^3 -6x^2 +0x +0 3x^2-x+6
// -x^3 +6x^2 +0x +0
-x^3 +0x^2 +2x +0
// 6x^2 -2x +0
6x^2 +0x -12

Passo 4c[modifica | modifica sorgente]

Eseguiamo la sottrazione tra R_2(x) e il polinomio scritto sotto per ottenere il polinomio R_3(x).

3x^4 -x^3 +0x^2 +0x +0 x^2-2
3x^4 +0x^3 -6x^2 +0x +0 3x^2-x+6
// -x^3 +6x^2 +0x +0
-x^3 +0x^2 +2x +0
// 6x^2 -2x +0
6x^2 +0x -12
// -2x +12

Siamo giunti a R_3(x)=-2x + 12, che ha grado strettamente minore di B(x)=x^2-2, dunque il resto è

R(x)=R_3(x)

e il quoziente della nostra divisione è

Q(x)=3x^2-x+6

possiamo quindi scrivere

\begin{align}
A(x)=B(x)&\cdot Q(x)+R(x)\\
&\Downarrow \\
3x^4-x^3=(x^2-2)&\cdot(3x^2-x+6)+(-2x+12)
\end{align}

Regola di Ruffini[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Regola di Ruffini.

Una versione più sintetica di questo procedimento è attuabile quando il divisore B è della forma B(x)=x-r o B(x)=ax-k, un binomio di primo grado. Tale regola è stata esposta da Paolo Ruffini per la prima volta nel 1810.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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