Divisione dei polinomi

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Divisione dei polinomi
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In matematica, la divisione dei polinomi è un algoritmo che permette di trovare il quoziente tra due polinomi, di cui il secondo di grado non superiore al grado del primo. È un'operazione che si può svolgere a mano, poiché spezza il problema in varie divisioni tra monomi, facilmente calcolabili.

Ricordiamo che, se i polinomi sono a coefficienti reali (o più in generale in un campo) per ogni coppia di polinomi e esistono unici altri due polinomi e tali che

posto che il grado di sia minore di quello di . Questo fatto è proprio degli anelli euclidei, come sono gli anelli di polinomi costruiti su un campo.

Il grado di sarà equivalente invece alla differenza tra il grado di e quello di .

Nel caso in cui , sarebbe divisibile per .

L'algoritmo[modifica | modifica wikitesto]

  1. Per prima cosa si scrivono i due polinomi in questo modo, facendo attenzione a scrivere esplicitamente anche i termini nulli di (ad esempio, andrà scritto come ).
  2. Si divide il termine di grado massimo di per il termine di grado massimo di e si scrive il risultato sotto .
  3. Si moltiplica questo termine per il polinomio e si scrive il risultato sotto , incolonnando ogni termine sotto il termine di di grado uguale.
  4. Si esegue la sottrazione tra e il polinomio scritto sotto di esso. Per costruzione, il termine in si eliderà, lasciando un polinomio di grado minore ( o anche meno).
  5. Se il grado di questo polinomio differenza è maggiore o uguale a quello di si ripetono le operazioni da 2 a 4 considerando adesso come dividendo e aggiungendo il termine
    a destra del termine , come addendo successivo.
  6. Quando si sarà raggiunto un polinomio di grado inferiore a , allora tale polinomio sarà il resto della divisione; il polinomio
    formatosi mano a mano sotto , sarà invece il polinomio quoziente.

Esempio[modifica | modifica wikitesto]

Per comprendere meglio l'algoritmo di divisione dei polinomi, in seguito viene svolto un esercizio a titolo d'esempio.

Dividiamo il polinomio

per il polinomio

Passo 1[modifica | modifica wikitesto]

Scriviamo i due polinomi e come nel modo illustrato più sopra. Così che ognuno dei due polinomi sia ordinato per grado (in modo decrescente) e siano esplicitati anche i monomi con coefficiente 0.

Passo 2[modifica | modifica wikitesto]

Dividiamo il termine di grado maggiore di , che risulta essere , per il termine di grado maggiore di , che è e scriviamo il risultato sotto .

Passo 3[modifica | modifica wikitesto]

Ora scriviamo, sotto , il polinomio ricavato moltiplicando il risultato della divisione dei termini di grado maggiore, per il polinomio . Bisogna tenere conto dei termini con coefficiente nullo.

Si può notare che, come già detto nel caso generale, i termini di grado maggiore di e del polinomio scritto sotto , sono uguali.

Passo 4[modifica | modifica wikitesto]

Ora sottraiamo con il polinomio scritto al di sotto per ottenere il polinomio .

Il grado di è maggiore di quello di , dunque iteriamo il procedimento.

Passo 2b[modifica | modifica wikitesto]

Dividiamo il termine di grado maggiore di che risulta essere per il termine di grado maggiore di e scriviamo il risultato accanto a quello ottenuto precedentemente.

Passo 3b[modifica | modifica wikitesto]

Ora, come nel passo 3, moltiplichiamo il risultato della divisione appena eseguita che, nel nostro esempio risulta essere , per il polinomio e scriviamo il risultato della moltiplicazione sotto .

Passo 4b[modifica | modifica wikitesto]

Eseguiamo la sottrazione tra il polinomio e il polinomio scritto sotto per ottenere .

Dato che il grado di non è inferiore a quello di dobbiamo iterare ancora un'altra volta il procedimento.

Passo 2c[modifica | modifica wikitesto]

Dividiamo il termine di grado superiore di per il termine di grado superiore di .

Passo 3c[modifica | modifica wikitesto]

Moltiplichiamo per il risultato della divisione appena eseguita e scriviamo il risultato della moltiplicazione sotto .

Passo 4c[modifica | modifica wikitesto]

Eseguiamo la sottrazione tra e il polinomio scritto sotto per ottenere il polinomio .

Siamo giunti a , che ha grado strettamente minore di , dunque il resto è

e il quoziente della nostra divisione è

possiamo quindi scrivere

Regola di Ruffini[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Regola di Ruffini.

Una versione più sintetica di questo procedimento è attuabile quando il divisore B è della forma o , un binomio di primo grado. Tale regola è stata esposta da Paolo Ruffini per la prima volta nel 1810.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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