Semianello

Un semianello è una struttura algebrica formata da un insieme $A$ munito di due operazioni binarie, dette somma e prodotto e denotate rispettivamente con $+$ e $\cdot$, le quali verifichino le seguenti proprietà:

1. Somma e prodotto sono operazioni associative: si ha cioè $(a+b)+c=a+(b+c)$ e $(ab)c=a(bc)$ per ogni terna $(a,b,c)$ di elementi di $A$;
2. Esiste un (unico) elemento neutro per la somma, indicato con $0$. Ciò significa che comunque si scelga $a$ in $A$, vale $a+0=0+a=a$;
3. Il prodotto è distributivo rispetto alla somma, vale a dire $(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c$ e $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$ per ogni scelta di $a$, $b$ e $c$ in $A$.
4. Per ogni $a$ in $A$, $0\cdot a=a\cdot 0=0$.

Si noti che la prima proprietà dice esattamente che $\langle A,+\rangle$ e $\langle A,\cdot \rangle$ sono semigruppi, mentre la seconda proprietà specifica più completamente che $\langle A,+\rangle$ è anche un monoide.

Esempi di semianelli

• Tutti gli pseudoanelli.
• Tutti gli anelli.
• L'insieme $P(S)$ delle parti di un insieme $S$, munito delle operazioni di unione (somma) e intersezione (prodotto). Lo 0 è in questo caso l'insieme vuoto.
• L'insieme dei linguaggi sopra un alfabeto munito delle operazioni di unione e giustapposizione di linguaggi.
• L'insieme delle relazioni binarie entro un dato insieme munito delle operazioni di unione e di prodotto di composizione di relazioni.

Voci correlate

• Altre strutture algebriche

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Semianello, su MathWorld, Wolfram Research.