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Algebra supercommutativa

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In matematica e in fisica teorica un'algebra supercommutativa è una superalgebra (cioè una Z2-algebra graduata) in cui per ogni coppia x e y di elementi omogenei si ha:

In maniera equivalente, si tratta di una superalgebra in cui il supercommutatore

è sempre nullo

dove con: e si sono indicate le gradazioni rispettivamente di x e y. La gradazione

vale:

a) 0 (zero) per gli operatori bosonici chiamati anche elementi pari;

b) 1 (uno) per gli operatori fermionici chiamati anche elementi dispari[1].

La relazione

può essere riscritta così:

1) un anticommutatore

quando x e y sono due operatori fermionici, che soddisfano all'algebra di Grassmann[2];

2) un commutatore

in tutti gli altri casi (ovvero x e y sono o due operatori bosonici oppure un operatore bosonico e uno fermionico)[3].

Ogni algebra commutativa (ovvero ogni algebra degli operatori bosonici) è un'algebra supercommutativa se ha la gradazione banale (cioè tutti gli elementi siano pari). L'algebra di Grassmann (nota anche come algebra esterna) sono i più comuni esempi di banali algebre supercommutative. Il supercentro di qualsiasi superalgebra[4], è l'insieme di elementi che supercommutano con tutti gli elementi, ed è un'algebra supercommutativa[5].

Commutatore[modifica | modifica wikitesto]

In matematica, un commutatore è un oggetto che è diverso da zero precisamente quando una operazione binaria non soddisfa la proprietà commutativa.

I commutatori sono ampiamente usati nella teoria dei gruppi e nella teoria degli anelli. Nella meccanica quantistica, i commutatori sono usati per formulare il principio di indeterminazione di Heisenberg.

Teoria dei gruppi[modifica | modifica wikitesto]

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Sia un gruppo. Il commutatore di due elementi e del gruppo è l'elemento

In alcuni testi, il commutatore è definito in modo lievemente differente:

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Due elementi e commutano quando . Questo accade se e solo se il commutatore si riduce all'elemento identico:

Il sottogruppo generato da tutti i commutatori di è detto sottogruppo dei commutatori. Un gruppo è abeliano se e solo se questo sottogruppo è banale.

Teoria degli anelli[modifica | modifica wikitesto]

Sia un anello. Il commutatore di due elementi e è l'elemento

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Due elementi e commutano se . Questo accade se e solo se il commutatore si annulla:

Il commutatore è una funzione bilineare:

Il commutatore è anticommutativo:

Ne segue che il commutatore è nilpotente:

Il commutatore soddisfa l'identità di Jacobi:

Il commutatore soddisfa una versione della regola di Leibnitz:

Quest'ultima espressione è interpretabile come regola di Leibnitz per la mappa

che quindi definisce una derivazione dell'anello.

Altre relazioni:

Algebra di Lie[modifica | modifica wikitesto]

Se è una algebra associativa, la bilinearità espressa sopra vale anche per la moltiplicazione di uno scalare:

Da tutte le proprietà elencate segue che, sostituendo il prodotto in con l'operazione binaria

si ottiene una nuova struttura di algebra per : più precisamente, si ottiene una struttura di algebra di Lie. I commutatori possono quindi essere utilizzati per trasformare una qualsiasi algebra associativa in una algebra di Lie.

Esempi negli Spazi di matrici[modifica | modifica wikitesto]

Le matrici su un campo fissato formano un'algebra associativa. Sostituendo l'usuale prodotto fra matrici con l'operazione di commutazione si ottiene quindi una struttura di algebra di Lie.

Operatori su spazi di Hilbert[modifica | modifica wikitesto]

Le matrici reali agiscono sullo spazio euclideo . Più in generale, si possono considerare varie algebre formate da operatori che agiscono su un determinato spazio di Hilbert .

In meccanica quantistica, gli operatori descrivono gli osservabili e i loro commutatori misurano la precisione con cui due osservabili possono essere misurati simultaneamente. Generalmente è un determinato spazio di funzioni.

Ad esempio, se è uno spazio di funzioni di una variabile reale a valori complessi, l'operatore di posizione moltiplica ogni funzione per :

mentre l'operatore di momento è una derivata:

I due operatori non commutano. Il loro commutatore è infatti

Per verificare che tale operatore è diverso da zero, lo si applica su una funzione e si ottiene il seguente risultato:

Poiché la relazione vale per ogni funzione di , si conclude che il commutatore è l'operatore che moltiplica ogni funzione per la costante :

Questa relazione è

La generalizzazione e a tre dimensioni con

è la seguente:

dove è la delta di Kronecker.

Altre relazioni di commutazione utili in meccanica quantistica sono le seguenti, dove è un intero maggiore o uguale a zero e e due funzioni sviluppabili in serie di Taylor:

Anticommutatore[modifica | modifica wikitesto]

Sia un anello. L'anticommutatore di due elementi e è l'elemento:

L'anticommutatore è un operatore usato specialmente in meccanica quantistica che prende in ingresso due operatori, ovvero:

con e che sono due operatori.

L'algebra graduata[modifica | modifica wikitesto]

In matematica, in particolare nell'algebra astratta, un'algebra graduata è un'algebra su campo (o anello commutativo), con un ulteriore pezzo della struttura, conosciuta come una gradazione (o classificazione).

Gli anelli graduati[modifica | modifica wikitesto]

Un anello graduato A is un anello che ha una decomposizioni in una somma diretta di gruppi (abeliani) additivi:

in modo tale che l'anello moltiplicativo soddisfa alla seguente proprietà:

e così che:

Gli elementi sono noti come elementi omogenei di grado n. Dalla definizione segue immediatamente che ogni elemento ammette una decomposizione unica come somma:

dove per tutti gli ; gli elementi sono talvolta chiamati parti omogenee di .

Un sottoinsieme ideale oppure un sottoinsieme A è omogeneo se per ogni elemento a, le parti omogenee di a sono pure contenute in

Se I è un insieme omogeneo ideali in A, allora è un anello graduato e possiede la seguente decomposizione:

L'algebra graduata definizione formale[modifica | modifica wikitesto]

Un'algebra A su un anello R è un'algebra graduata se è graduato come un anello. Nel caso in cui un anello R è anche un anello graduato, allora si richiede che:

  1. AiRjAi+j, e
  2. RiAjAi+j.

Si noti che la definizione di 'anello graduato su un anello non graduato è il caso particolare della definizione di quest'ultimo dove "R" è graduato in modo banale (ogni elemento della "R" è di grado zero).

Superalgebra[modifica | modifica wikitesto]

In matematica e in fisica teorica una superalgebra è una Z2- algebra graded (algebra graduata)[6]. Vale a dire, si tratta di un'algebra su un anello commutativo o un campo che si decompone in un pezzo "pari" e uno "dispari" ovvero è un operatore moltiplicativo che rispetta la separazione in pezzi "pari" e "dispari".

Il prefisso super- deriva dalla teoria della supersimmetria in fisica teorica. Le superalgebre e le loro rappresentazioni, i supermoduli, forniscono un quadro algebrico per la formulazione della supersimmetria[7]. Lo studio di tali oggetti a volte è pure chiamato super algebra lineare.

Definizione formale[modifica | modifica wikitesto]

Sia K un fissato anello commutativo; nella maggior parte delle applicazioni K è un campo come R o C.

Una superalgebra su K è un K-modulo A con una decomposizione in una somma diretta:

con una moltiplicazione bilineare A × AA tale che:

con gli indici che hanno modulo 2.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Introducing supersymmetry, M. F. Sohnius, 1985
  2. ^ Weinberg Steven, The Quantum Theory of Fields, Volume 3: Supersymmetry, Cambridge University Press, Cambridge (1999). ISBN 0-521-66000-9.
  3. ^ Weinberg Steven, The Quantum Theory of Fields, Volume 3: Supersymmetry, Cambridge University Press, Cambridge (1999). ISBN 0-521-66000-9.
  4. ^ Vedi centro di un gruppo
  5. ^ Kac, Martinez & Zelmanov (2001) .
  6. ^ Kac, Martinez & Zelmanov (2001) .
  7. ^ Introducing supersymmetry, M. F. Sohnius, 1985

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Bourbaki, Nicolas (1974) Algebra I (Chapters 1-3), ISBN 978-3-540-64243-5, Chapter 3, Section 3.
  • Junker G. Supersymmetric Methods in Quantum and Statistical Physics, Springer-Verlag (1996).
  • Kane G. L., Shifman M., The Supersymmetric World: The Beginnings of the Theory World Scientific, Singapore (2000). ISBN 981-02-4522-X.
  • Weinberg Steven, The Quantum Theory of Fields, Volume 3: Supersymmetry, Cambridge University Press, Cambridge (1999). ISBN 0-521-66000-9.
  • Wess, Julius, and Jonathan Bagger, Supersymmetry and Supergravity, Princeton University Press, Princeton, (1992). ISBN 0-691-02530-4.
  • Bennett GW, et al; Muon (g−2) Collaboration, Measurement of the negative muon anomalous magnetic moment to 0.7 ppm, in Physical Review Letters, vol. 92, nº 16, 2004, p. 161802, DOI:10.1103/PhysRevLett.92.161802, PMID 15169217.
  • (EN) Cooper F., A. Khare, U. Sukhatme. Supersymmetry in Quantum Mechanics, Phys. Rep. 251 (1995) 267-85 (arXiv:hep-th/9405029).
  • (EN) D.V. Volkov, V.P. Akulov, Pisma Zh.Eksp.Teor.Fiz. 16 (1972) 621; Phys. Lett. B46 (1973) 109.
  • (EN) V.P. Akulov, D.V. Volkov, Teor.Mat.Fiz. 18 (1974) 39.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]