Matrice unitaria

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

In matematica, una matrice unitaria è una matrice quadrata complessa che soddisfa la condizione:

dove è la matrice identità e è la matrice trasposta coniugata di .

Si dimostra facilmente che è una matrice unitaria.

La definizione equivale a dire che una matrice è unitaria se è invertibile e la sua inversa è uguale alla sua coniugata trasposta:

Una matrice è inoltre unitaria se è una matrice normale con autovalori sul cerchio unitario, oppure se è un'isometria rispetto alla norma usuale. Una matrice unitaria avente tutti gli elementi reali è una matrice ortogonale.

Le matrici unitarie rappresentano gli operatori unitari su spazi di Hilbert finito-dimensionali (costituiscono quindi un caso particolare).

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Le matrici unitarie soddisfano le seguenti proprietà:

  • Ogni matrice unitaria soddisfa l'uguaglianza:
per tutti i vettori complessi e , dove indica il prodotto hermitiano standard.

Una matrice è unitaria se e solo se le sue colonne (o le sue righe) formano una base ortonormale dello spazio rispetto al prodotto hermitiano standard. Per mostrare l'implicazione diretta, se si suppone che è unitaria allora . Sia quindi un suo vettore colonna (o vettore riga) corrispondente alla i-esima colonna, e sia:

Vedendo questa matrice come prodotto interno, cioè , si ha che:

  • se allora , ma allora .
  • se , allora , ma allora è ortogonale ad .

Essendo contemporaneamente ortogonale e di norma unitaria significa che è una base ortonormale.

Per mostrare l'implicazione inversa, si supponga che le colonne (o le sue righe) formano una base ortonormale dello spazio rispetto al prodotto interno. Se le colonne (o le righe) di sono ortonormali allora significa che ad eccezione di quando , dove si ha . Si ha quindi:

Ma questa è proprio la definizione di matrice identità , che è unitaria.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) W. Noll, Finite dimensional spaces , M. Nijhoff (1987) pp. 63
  • (EN) W.H. Greub, Linear algebra , Springer (1975) pp. 329

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

Matematica Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica