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Misura a valori di proiettore

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In matematica, in particolare in analisi funzionale, una misura a valori di proiettore è una funzione definita su un certo sottoinsieme di un insieme fissato i cui valori restituiti sono proiettori autoaggiunti su uno spazio di Hilbert.

Le misure a valori di proiettore sono usate per esprimere i risultati della teoria spettrale, come il teorema spettrale per operatori autoaggiunti.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Sia un sottoinsieme chiuso di . Si definisce misura a valori di proiettore un insieme di proiezioni ortogonali che soddisfa le proprietà:[1]

  • e per qualche .
  • Sia una famiglia di insiemi tale che:
allora si ha:
dove il limite è in senso forte.

Si tratta di una misura limitata, e dalla definizione segue l'ulteriore proprietà:

Se si considera uno spazio topologico sul quale è definita una sigma algebra di borel , una misura a valori di proiettore è una funzione definita su ed a valori nello spazio dei proiettori ortogonali definiti su uno spazio di Hilbert di dimensione finita . In tal caso gli insiemi utilizzati nella definizione sono gli elementi della sigma algebra di borel , e si ha .

Ad esempio, si consideri lo spazio di Hilbert , dove è una misura di Borel. Si può definire una misura a valori di proiettore nel seguente modo:

per quasi ogni .

Integrazione rispetto ad una misura a valori di proiettore[modifica | modifica wikitesto]

Sia data una famiglia di insiemi misurabili mutuamente disgiunti ed una funzione semplice:

dove è la funzione indicatrice relativa all'insieme per ogni i ed i numeri sono disgiunti.

Si può definire l'integrale di rispetto ad una misura a valori di proiettore nel seguente modo:

Si dimostra che l'estensione di tale operatore integrale dallo spazio delle funzioni semplici allo spazio di Banach delle funzioni limitate e misurabili rispetto alla sigma algebra di Borel è unica. Si definisce in questo modo l'operatore integrale positivo:

rispetto alla misura a valori di proiettore :

Detto inoltre il supporto di , si dimostra che:

Misura associata ad un operatore[modifica | modifica wikitesto]

Sia uno spazio topologico sul quale è definita una sigma algebra di borel , sia uno spazio di Hilbert e una misura a valori di proiettore. Per ogni il prodotto interno:

rappresenta una misura di Borel complessa. In particolare, la misura viene detta misura spettrale associata a .

Attraverso una misura del tipo di si può definire l'operatore di integrazione rispetto ad una misura a valori di proiettore anche nel caso in cui non sia limitata, a patto di utilizzare l'insieme:

come dominio dell'applicazione:

che definisce in questo modo un operatore lineare chiuso e limitato, che è l'integrale di rispetto a . L'insieme è un sottospazio denso in , ed il secondo membro è caratterizzato dal fatto che la funzione può essere vista come il limite di una successione di funzioni misurabili e limitate convergente nella norma di .

Sia una funzione definita sul supporto di tale che sia inoltre limitata e misurabile rispetto alla sigma algebra di Borel. Per il teorema di rappresentazione di Riesz esiste un unico operatore:

che soddisfa la relazione:

dove denota l'integrazione rispetto alla misura .

Decomposizione spettrale di operatori normali e autoaggiunti[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: operatore normale, operatore autoaggiunto e diagonalizzabilità.

Sia un operatore normale limitato definito su uno spazio di Hilbert . Il teorema di decomposizione spettrale per operatori normali afferma che esiste un'unica misura a valori di proiettore tale per cui:

dove è lo spettro di . Si dice che è la misura a valori di proiettore associata ad .

In particolare, se è un operatore autoaggiunto si può definire una misura a valori di proiettore limitata:

definita sullo spettro di . Tale misura può essere univocamente associata ad nel seguente modo:

per ogni funzione misurabile limitata , e in tal caso si ha:

La formula a sinistra è detta diagonalizzazione di .[2]

Se da un lato è possibile definire univocamente un operatore autoaggiunto (o, più in generale, un operatore normale) a partire da una misura a valori di proiettore, dall'altro se è possibile diagonalizzare tramite una misura a valori di proiettore limitata allora è la misura a valori di proiettore associata univocamente ad . Ogni operatore limitato autoaggiunto può dunque essere messo in corrispondenza biunivoca con una misura a valori di proiettore limitata .

Operatori autoaggiunti non limitati[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Trasformata di Cayley.

Si consideri un operatore autoaggiunto non limitato. Attraverso la trasformata di Cayley associata ad :

è possibile definire, a partire da , una misura a valori di proiettore nel modo seguente:

L'insieme è un borelliano contenuto nello spettro (reale) di , e è il risultato ottenuto applicando la trasformata di Cayley su .

Si dimostra che se la funzione identità, definita su , è di classe rispetto alla misura , allora definisce una misura a valori di proiettore su .

In particolare, è possibile scrivere:

Anche nel caso di non limitato la corrispondenza tra ed una misura a valori di proiettore è biunivoca.

Proiezioni e spettro di un operatore[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Spettro (matematica) e Spettro essenziale.

Le proiezioni spettrali sono uno strumento che permette di caratterizzare le proprietà dello spettro di un operatore autoaggiunto . In primo luogo si dimostra che un numero appartiene a se e solo se per ogni è soddisfatta la seguente condizione:[3]

Un tale approccio permette inoltre di suddividere lo spettro in due sottoinsiemi:

  • Lo spettro essenziale di è l'insieme dei numeri tali per cui per ogni il rango di ha dimensione infinita. Si dimostra che tale insieme è chiuso. In modo equivalente, appartiene a se e solo se è un autovalore che ha molteplicità infinita.
  • Si definisce spettro discreto di l'insieme dei numeri tali per cui per ogni il rango di ha dimensione finita. In modo equivalente, appartiene a se e solo se è un punto isolato di ed è un autovalore che ha molteplicità finita.

Estensioni delle misure a valori di proiettore[modifica | modifica wikitesto]

Se è una misura a valori di proiettore su , allora la mappa:

estende a mappa lineare su uno spazio vettoriale di funzioni gradino su .

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Reed, Simon, Pag. 235
  2. ^ Reed, Simon, Pag. 234
  3. ^ Reed, Simon, Pag. 236

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) Michael Reed, Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis, 2ª ed., San Diego, California, Academic press inc., 1980, ISBN 0-12-585050-6.
  • (EN) G. W. Mackey, The Theory of Unitary Group Representations, The University of Chicago Press, 1976
  • (EN) G. Teschl, Mathematical Methods in Quantum Mechanics with Applications to Schrödinger Operators, [1], American Mathematical Society, 2009.
  • (EN) V. S. Varadarajan, Geometry of Quantum Theory V2, Springer Verlag, 1970.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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