Operatore unitario

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

In geometria, un operatore unitario, detto anche trasformazione unitaria, è un isomorfismo tra due spazi di Hilbert che conserva il prodotto scalare, e si tratta pertanto della generalizzazione del concetto di isometria al campo complesso.

Gli operatori unitari su spazi di Hilbert finito-dimensionali costituiscono l'insieme delle matrici unitarie. Nel caso possiedono tutti gli elementi reali, le matrici unitarie sono dette matrici ortogonali e sono corrispondenti agli operatori unitari su .

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Si definisce operatore unitario un isomorfismo tra due spazi di Hilbert che conserva il prodotto scalare:[1]

In modo equivalente, un operatore unitario è un operatore tale che:

dove si indica con l'aggiunto dell'operatore .

In particolare, la norma di un operatore unitario è unitaria:

In spazi vettoriali a dimensione finita la surgettivita è garantita dal fatto che un operatore unitario è un isomorfismo, e da essa discende l'invertibilità.

Spettro[modifica | modifica wikitesto]

Lo spettro di un operatore unitario giace sulla circonferenza unitaria, ovvero per ogni numero nello spettro si ha . Questo fatto può essere visto come una conseguenza del teorema spettrale per operatori normali, che stabilisce che è unitariamente equivalente alla moltiplicazione per una funzione misurabile rispetto alla sigma-algebra di uno spazio di misura finito con misura di Borel . Allora, dal momento che implica quasi ovunque rispetto a , lo spettro essenziale di , e dunque lo spettro di , è contenuto nella circonferenza unitaria.

Linearità[modifica | modifica wikitesto]

La linearità di un operatore unitario può essere derivata a partire dalla linearità del prodotto interno definito positivo:

In modo analogo si ottiene:

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Reed, Simon, Pag. 39

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Serge Lang, Algebra lineare, Torino, Bollati Boringhieri, 1992, ISBN 88-339-5035-2.
  • (EN) Michael Reed, Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis, 2ª ed., San Diego, California, Academic press inc., 1980, ISBN 0-12-585050-6.
  • (EN) Serge Lang, Differential manifolds, Reading, Mass.–London–Don Mills, Ont., Addison-Wesley Publishing Co., Inc., 1972.
  • (EN) Paul Halmos, A Hilbert space problem book, Springer, 1982.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

Matematica Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica