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C*-algebra

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In matematica, una C*-algebra è un'algebra complessa di operatori lineari continui (limitati) definiti su uno spazio di Hilbert complesso con due proprietà aggiuntive:

  • è un insieme (topologicamente) chiuso nella topologia della norma degli operatori.
  • è chiuso rispetto all'operazione di prendere l'aggiunto di un operatore.

L'interesse per le C*-algebre è nato con la meccanica quantistica dove vengono usate per modellare le algebre degli osservabili. Questa linea di ricerca inizia in forma rudimentale con la meccanica matriciale di Werner Karl Heisenberg e in una forma matematicamente più evoluta con Pascual Jordan nel 1933. Successivamente, John von Neumann cerca di sistematizzarne lo studio arrivando a pubblicare un'importante serie di articoli sugli anelli di operatori, in cui vengono considerate delle speciali classi di C*-algebre, oggi chiamate algebre di von Neumann.

Intorno al 1943 il lavoro di Izrail' Moiseevič Gel'fand, Mark Naimark e Irving Segal porta alla caratterizzazione astratta delle C*-algebre che non fa più riferimento agli operatori.

Le C*-algebre costituiscono oggigiorno un importante strumento nella teoria delle rappresentazioni unitarie dei gruppi localmente compatti, oltre ad essere usate nella formulazione algebrica della meccanica quantistica.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Una C*-algebra è un'algebra di Banach su campo complesso, assieme ad una involuzione che manda in e che gode della proprietà:

Nonostante l'apparente semplicità, questa uguaglianza permette di ricavare un numero notevole di risultati. Si tratta della caratterizzazione astratta di C*-algebra data in un articolo del 1943 da Gel'fand and Naimark.

La definizione di C*-algebra non implica che debba avere un'unità, ciò nonostante si può dimostrare che esiste un'unica C*-algebra con unità che contiene come ideale e tale che abbia dimensione 1. In questo modo si può definire lo spettro anche per gli elementi di una C*-algebra senza unità considerandoli come elementi di .

Se e sono C*-algebre, un omomorfismo algebrico viene chiamato *-omomorfismo se rispetta l'involuzione, ovvero se:

Come sempre se un *-omomorfismo è biettivo lo si chiama *-isomorfismo e si dice che le due C*-algebre sono isomorfe. Se non c'è rischio di confusione, si può tralasciare il "*-" iniziale. Si dimostra che un qualsiasi *-homomorfismo è limitato con norma minore o uguale a 1 (e quindi, in particolare, che un *-isomorfismo è un'isometria).

Il termine B*-algebra è stato introdotto da C. E. Rickart nel 1946 per descrivere un'*-algebra di Banach che soddisfa:

per tutti gli nella data B*-algebra. Ogni C*-algebra è anche una B*-algebra, perché:

quindi se non è nullo, e sostituendo a si conclude che:

In parallelo con la teoria degli operatori, un viene chiamato:

  • hermitiano se ,
  • normale se ,
  • unitario se .

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

C*-algebre a dimensione finita[modifica | modifica wikitesto]

L'algebra delle matrici su campo complesso diventa una C*-algebra se viene dotata della norma usuale quando considerata come spazio degli operatori su , e se si prende come involuzione di una matrice la sua aggiunta.

Più in generale si possono considerare somme dirette di algebre matriciali. Infatti si dimostra che tuttle le C*-algebre a dimensione finita sono di questa forma (teorema di Artin-Wedderburn perché le C*-algebre a dimensione finita sono semisemplici).

C*-algebre di operatori[modifica | modifica wikitesto]

L'esempio tipico di C*-algebra è l'insieme degli operatori limitati (i.e. continui) su uno spazio di Hilbert dotato delle operazioni solite e con che indica l'aggiunto di . Infatti, per il teorema di Gel'fand-Naimark, ogni C*-algebra è *-isomorfa ad una sottoalgebra (chiusa rispetto alla norma ed a * ) di per un opportuno spazio di Hilbert .

C*-algebre commutative[modifica | modifica wikitesto]

Sia uno spazio di Hausdorff localmente compatto. Lo spazio delle funzioni complesse a supporto compatto su è una C*-algebra con le operazioni usuali e con l'involuzione data dalla coniugazione complessa punto per punto. Da notare che è unitaria solo se è compatto.

Il teorema di rappresentazione di Gel'fand dice che ogni C*-algebra commutativa è *-isomorfa ad con lo spazio dei caratteri (*-omomorfismi tra l'algebra e ) dotato della topologia debole (è localmente compatto perché i caratteri hanno norma 1 e quindi si possono vedere come elementi della palla unitaria dello spazio duale). Inoltre se è isomorfo ad allora segue che ed sono omeomorfi, questa è la motivazione che sottostà ai metodi di indagine della geometria noncommutativa.

C*-algebra nucleare[modifica | modifica wikitesto]

In matematica, una C*-algebra nucleare è una C*-algebra tale che il prodotto tensoriale algebrico con qualsiasi altra C*-algebra , ossia l'algebra , ammetta una ed una sola norma C*.

Tutte le C*-algebre abeliane sono nucleari.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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