Matrice normale

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In matematica, in particolare in algebra lineare, una matrice quadrata a valori complessi è una matrice normale se:

dove è la matrice trasposta coniugata di . Ovvero, una matrice normale è una matrice che commuta con la sua trasposta coniugata. Se è una matrice reale, allora è semplicemente uguale alla trasposta di , ovvero simmetrica.

Le matrici normali sono unitariamente equivalenti alle matrici diagonali complesse.

Il concetto di matrice normale può essere generalizzato agli operatori normali sugli spazi di Hilbert e agli elementi normali nelle C*-algebre.

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Le matrici normali sono le matrici a cui si applica il teorema spettrale: possono essere rappresentate da una matrice diagonale rispetto a una base ortonormale di opportunamente scelta. In altri termini, una matrice è normale se e solo se i suoi autospazi generano e sono ortogonali due a due rispetto all'usuale prodotto scalare di .

In generale, la somma o il prodotto di due matrici normali non è necessariamente normale. Tuttavia, se e sono normali con , allora sia che sono normali e inoltre è possibile diagonalizzare simultaneamente e nel seguente senso: esiste una matrice unitaria tale che e sono entrambe matrici diagonali. In questo caso, le colonne di sono autovettori sia di che di e formano una base ortonormale di .

Se è una matrice normale invertibile, allora esiste una matrice unitaria e una matrice definita positiva tale che Errore del parser (MathML, altrimenti SVG o PNG (consigliato per browser moderni e strumenti di accesso facilitato): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle A = RU = UR} . Le matrici e sono unicamente determinate da . Questa affermazione può essere vista come un analogo (e una generalizzazione) della rappresentazione polare dei numeri complessi non nulli.

Tutte le matrici unitarie, hermitiane, antihermitiane e definite positive sono normali. Se è unitaria . Se è hermitiana, allora e quindi . Tuttavia non tutte le matrici normali sono unitarie, hermitiane, o definite positive.

Relativamente allo spettro di , si ha che una matrice è normale se e solo se:

dove sono i valori singolari di e gli autovalori di .

Un'altra condizione necessaria e sufficiente è che la norma di Frobenius di può essere calcolata con i suoi autovalori:

La norma operatoriale di una matrice normale , inoltre, è pari al suo raggio spettrale:

dove è lo spettro di .

Esempio[modifica | modifica wikitesto]

La matrice:

è normale poiché:

ma non è unitaria, né hermitiana, né definita positiva.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) Roger A. Horn e Charles R. Johnson, Topics in Matrix Analysis, Cambridge University Press, 1991, p. 157, ISBN 978-0-521-30587-7.
  • (EN) Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (1985), Matrix Analysis, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-38632-6.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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