Matrice invertibile

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In matematica, in particolare in algebra lineare, una matrice quadrata è detta invertibile, o regolare, se esiste un'altra matrice tale che il prodotto matriciale tra le due restituisce la matrice identità.

L'insieme delle matrici invertibili di dimensioni è un gruppo moltiplicativo rispetto all'ordinaria operazione di prodotto matriciale; tale struttura algebrica è detta Gruppo generale lineare ed è indicata con il simbolo .

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Una matrice quadrata è detta invertibile se esiste una matrice tale che:[1]

dove denota la matrice identità e la moltiplicazione usata è l'ordinaria moltiplicazione di matrici.

Se è questo il caso, allora la matrice è univocamente determinata da ed è chiamata l'inversa di , indicata con .

Nella definizione, le matrici e hanno valori in un anello con unità.

Definizioni equivalenti[modifica | modifica wikitesto]

Una matrice è singolare se ha determinante uguale a zero. Tra le affermazioni elencate sotto, la più importante dice che se ha valori in un campo, come ad esempio quello dei numeri reali o complessi, la matrice è invertibile se e solo se non è singolare.

Sia una matrice quadrata con valori in un campo (ad esempio, il campo dei numeri reali o complessi).

Le seguenti affermazioni sono equivalenti e caratterizzano una matrice invertibile:

  • Esiste una matrice tale che .
  • Il determinante non è nullo: .
  • Il rango di è .
  • La trasposta è una matrice invertibile.
  • L'equazione (con e vettori colonna in ) ha solamente la soluzione banale .
  • L'equazione ha esattamente una soluzione per ogni in .
  • Le colonne di sono linearmente indipendenti.
  • Le colonne di generano .
  • Le colonne di formano una base di .
  • L'applicazione lineare da in data da: è iniettiva, suriettiva e biiettiva.

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Gruppo generale lineare.
  • L'inversa di una matrice invertibile è essa stessa invertibile, e si ha:[2]
  • Il prodotto di due matrici invertibili e è ancora invertibile, con inversa data da:

Come conseguenza delle proprietà precedenti, l'insieme delle matrici invertibili costituisce un gruppo con la moltiplicazione, noto come il gruppo generale lineare .

Poiché le matrici invertibili formano un gruppo, possono in molti casi essere manipolate come se fossero dei numeri reali. Ad esempio:

  • Se e sono invertibili, l'equazione ha una sola soluzione, data da . Analogamente ha come unica soluzione .

Matrici reali[modifica | modifica wikitesto]

Sul campo dei numeri reali l'insieme di tutte le matrici è uno spazio vettoriale isomorfo a , e il sottoinsieme delle matrici non invertibili è un insieme nullo, cioè ha misura di Lebesgue zero, essendo l'insieme degli zeri della funzione determinante, che è un polinomio. Intuitivamente, questo vuol dire che la probabilità che una matrice quadrata casuale a valori reali sia non-invertibile è zero. Parlando in modo approssimativo, si dice che "quasi tutte" le matrici sono invertibili.

Matrice invertibile in un anello[modifica | modifica wikitesto]

Il teorema della matrice invertibile generalmente non vale in un anello commutativo. In questo caso, la matrice è invertibile se e solo se il suo determinante è una unità, ossia è invertibile, in questo anello.

Sistemi lineari[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Sistema di equazioni lineari.

Se è invertibile, l'equazione ha una sola soluzione, data da . Analogamente ha come unica soluzione .

Nel caso particolare in cui e abbiano dimensioni , ovvero siano vettori colonna, l'equazione rappresenta un sistema lineare, dove è la matrice dei coefficienti.[3]

è invertibile se il sistema ha una soluzione unica o, in modo equivalente, se il sistema omogeneo associato ha come unica soluzione il vettore nullo.[4]

Calcolo della matrice inversa[modifica | modifica wikitesto]

Esistono vari metodi per il calcolo dell'inversa di una matrice quadrata invertibile .

Matrici di ordine 2[modifica | modifica wikitesto]

La matrice inversa di una matrice 2 per 2 invertibile:

è la seguente:

Metodo della matrice dei cofattori[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Matrice dei cofattori e Cofattore (matematica).

Il metodo della matrice dei cofattori risulta particolarmente rapido quando non interessa calcolare tutti gli elementi della matrice inversa, e quando la matrice è di dimensione contenuta. Inoltre, la presenza di variabili letterali tra gli elementi non aumenta di molto la complessità del calcolo.

Data una matrice quadrata e invertibile:

la sua inversa è la seguente:

dove è il determinante di , la matrice è la matrice dei cofattori (o dei complementi algebrici) e l'esponente indica l'operazione di trasposizione di matrici.

Uno schema mnemonico per la variazione del segno è il seguente:

Algoritmo di Gauss-Jordan[modifica | modifica wikitesto]

L'algoritmo di Gauss-Jordan, può essere usato per trovare (quando esiste) l'inversa di una matrice. Funziona nel modo seguente: sia una matrice invertibile. Si costruisce la matrice con n righe e colonne affiancando e la matrice identità . A questo punto si applica l'algoritmo di Gauss-Jordan alla nuova . Questo algoritmo trasforma la matrice in una matrice a scalini, che sarà del tipo . La matrice così trovata è proprio l'inversa di .

L'esempio seguente mostra che l'inversa di:

è la matrice:

Infatti:

Nel primo passaggio si è moltiplicata la prima riga per , nel secondo si è sommata alla seconda riga la prima, nel terzo si è moltiplicata la seconda riga per , nel quarto passaggio si è sommata alla prima riga la seconda e infine nell'ultimo passaggio si è divisa la prima riga per e la seconda per . In questo modo si è partiti da una matrice di e si è arrivati a . Si ha che è l'inversa di .

Inversa di una matrice partizionata[modifica | modifica wikitesto]

Data una matrice partizionata a blocchi:

in cui le sottomatrici sulla diagonale e sono quadrate e non singolari, si può dimostrare che l'inversa di risulta uguale a:

dove è una matrice identità di ordine appropriato e:

ovvero:

con:

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ S. Lang, Pag. 68
  2. ^ Hoffman, Kunze, Pag. 22
  3. ^ Un ragionamento analogo vale anche per , ma qui e devono essere vettori riga.
  4. ^ Hoffman, Kunze, Pag. 23

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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