Teorema di Laplace

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In matematica, in particolare in algebra lineare, il teorema di Laplace o sviluppo di Laplace, il cui nome è dovuto a Pierre Simon Laplace, è una formula che permette di calcolare il determinante di una matrice (quadrata) con un procedimento ricorsivo. Lo sviluppo può essere eseguito per righe oppure per colonne.

Enunciati[modifica | modifica wikitesto]

Si supponga di avere una matrice quadrata M di dimensione n e di elementi m_{ij}. Si definiscono:

  • La matrice M_{ij}, la sottomatrice (di dimensione n-1) che si ottiene da M cancellando la i-esima riga e la j-esima colonna.
  • Il valore \det(M_{ij}), detto minore complementare dell'elemento (i,j).
  • Il valore (-1)^{i+j} \det(M_{ij}), detto cofattore o complemento algebrico dell'elemento (i,j).

Il primo teorema di Laplace afferma che il determinante di una matrice quadrata M di ordine n è pari alla somma dei prodotti degli elementi di una riga qualsiasi (o una colonna qualsiasi) per i rispettivi complementi algebrici. In formule:

\det M = \sum_{j=1}^{n} (-1)^{i+j}m_{ij}\det M_{ij}

indicando con i la riga, con j la colonna e considerando i,j = 1,\ldots,n.

Il secondo teorema di Laplace afferma che è sempre nulla la somma dei prodotti degli elementi di una riga (o colonna) per i complementi algebrici di un'altra riga (o colonna) della matrice stessa. In formule:

 0 = \sum_{j=1}^{n} (-1)^{i+j} m_{kj} \det M_{ij} \ \ \  \text{con} \ \ \ i \neq k

(se i=k è il primo teorema e il risultato è diverso da zero).

Con lo sviluppo di Laplace si può verificare, per esempio, che il determinante di una matrice diagonale è il prodotto dei valori sulla diagonale, che il determinante di una matrice triangolare è ancora il prodotto dei valori sulla diagonale o che gli autovalori di una matrice triangolare sono gli elementi sulla diagonale.

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Per provare che il determinante della matrice ottenuto operando con le righe e quello ottenuto operando con le colonne sono la stessa cosa basta ricordarsi \textrm{det}\, A = \det (A^T). Fissato arbitrariamente h appartenente N_{n}, la matrice ottenuta da A sostituendo alla sua h-esima riga la n-pla:

(0,0,\ldots,0,1,0,\ldots,0)

dove l'elemento 1 compare nella j-esima posizione. Da:

(a_{h1}, a_{h2},\dots, a_{hn})=a_{h1}(1,0,\dots,0)+a_{h2}(0,1,0\dots,0)+\dots+a_{hn}(0,\dots,0,1)

applicando iterativamente le proprietà 4' e 4" del determinante alla h-esima riga di A, si ottiene:

\det A = \sum_{j=1}^{n} a_{hj} \det B_{j}

Dopo di che, non resta che provare che al variare di j in  N_{n} \det B_{j}=A_{j}^h

A tale scopo sia B_{j}' la matrice ottenuta da B_{j} scambiando consecutivamente ogni riga, dalla riga h alla riga h-1, con la sua successiva fino ad ottenere una matrice B'_{j} con un 1 nel posto individuato dalla h-esima riga e dalla j-esima colonna, tutti gli altri elementi di tale riga siano 0 e tutti gli altri elementi della j-esima colonna siano quelli di A. in questo modo si è isolato il minore M_{j}'.

Essendo tale minore il minore M_{j}^h complementare di a^h_{j} in A. Si osservi ora che se P_{n}' indica il sottogruppo di P_{n} costituito dalla permutazione p appartenente a P_{n} tale che p(n)=n, l'applicazione che associa ad ogni p appartenente a P_{n}' la sua restrizione a N_{n-1} definisce una biiezione tra P_{n}' e P_{n-1} in cui corrispondenti permutazioni hanno lo stesso segno. Pertanto, posto B_{j}'=(a_{s}^r), poiché a_{n}^n=1 e, per ogni s appartenente a N_{n-1}, a_{s}^n=0 si ottiene:

\det B_{j}' = \sum_{p P_{n}} \sgn p a_{p(1)}^1\cdot\ldots\cdot a^{(n-1)}_{p(n-1)}\cdot a_{p(n)}^n =
\sum_{p P_{n}'} \sgn p a_{p(1)}^1\cdot \ldots\cdot a^{(n-1)} _{p(n-1)} \cdot 1 =
\sum_{p P_{n-1}} \sgn p a_{p(1)}^1\cdot\ldots\cdot a_{p(n-1)}^{(n-1)} = \det M_{j}' = \det M_{h}^j

Poiché B_{j}' è ottenuta da B_{j} con n-h scambi di riga ed n-j scambi di colonna, dalla proprietà 2 del determinante si ha:

\det B_{j}=(-1)^{n-h}*(-1)^{(n-j)}\cdot \det B_{j}'= (-1)^ {2n-(h+j)}\cdot \det B_{j}'=(-1)^{(h+j)}\cdot \det M_{j}^h = A{j}^h

Ciò conclude la dimostrazione.

Esempio di calcolo[modifica | modifica wikitesto]

Si voglia calcolare il determinante della seguente matrice quadrata del terzo ordine:


A=\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
-2 & -1 & -3 \\
0 & -4 & 1 \end{pmatrix}
  • Si inizia scegliendo arbitrariamente una riga o una colonna della matrice rispetto alla quale sviluppare la formula. Ammettiamo di aver scelto la prima riga: (1 , 2 , 3);
  • Si moltiplica ogni numero della riga scelta per il rispettivo complemento algebrico. Quindi:
    • 1 \cdot (-1)^{1+1}\det\begin{pmatrix} -1 & -3 \\ -4 & 1 \end{pmatrix}=1 \cdot [-1 \cdot 1-(-3) \cdot (-4)]=-1-12=-13
    • 2 \cdot (-1)^{1+2}\det\begin{pmatrix} -2 & -3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}=-2 \cdot [-2 \cdot 1-(-3) \cdot 0]=4
    • 3 \cdot (-1)^{1+3}\det\begin{pmatrix} -2 & -1 \\ 0 & -4 \end{pmatrix}=3 \cdot [-2 \cdot (-4)-(-1) \cdot 0]=24
  • Il determinante della matrice iniziale è dato dalla somma dei precedenti prodotti e vale: \det A=-13+4+24=15.
  • Il risultato ottenuto è indipendente dalla riga o colonna inizialmente scelta. Utilizzando ad esempio l'ultima riga della matrice, che contenendo uno zero aiuta a semplificare ulteriormente i calcoli, si ottiene infatti:
\det A=4\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ -2 & -3 \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -2 & -1 \end{vmatrix}=4 \cdot (-3+6)+(-1+4)=15

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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