Teorema di Laplace

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In matematica, in particolare in algebra lineare, il teorema di Laplace o sviluppo di Laplace, il cui nome è dovuto a Pierre Simon Laplace, è una formula che permette di calcolare il determinante di una matrice (quadrata) con un procedimento ricorsivo. Lo sviluppo può essere eseguito per righe oppure per colonne.

Enunciati[modifica | modifica wikitesto]

Si supponga di avere una matrice quadrata di dimensione e di elementi . Si definiscono:

  • La matrice , la sottomatrice (di dimensione ) che si ottiene da cancellando la -esima riga e la -esima colonna.
  • Il valore , detto minore complementare dell'elemento .
  • Il valore , detto cofattore o complemento algebrico dell'elemento .

Il primo teorema di Laplace afferma che il determinante di una matrice quadrata di ordine è pari alla somma dei prodotti degli elementi di una riga qualsiasi (o una colonna qualsiasi) per i rispettivi complementi algebrici. In formule:

indicando con la riga, con la colonna e considerando .

Il secondo teorema di Laplace afferma che è sempre nulla la somma dei prodotti degli elementi di una riga (o colonna) per i complementi algebrici di un'altra riga (o colonna) della matrice stessa. In formule:

(se è il primo teorema e il risultato è diverso da zero).

Con lo sviluppo di Laplace si può verificare, per esempio, che il determinante di una matrice diagonale è il prodotto dei valori sulla diagonale, che il determinante di una matrice triangolare è ancora il prodotto dei valori sulla diagonale o che gli autovalori di una matrice triangolare sono gli elementi sulla diagonale.

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Per provare che il determinante della matrice ottenuto operando con le righe e quello ottenuto operando con le colonne sono la stessa cosa basta ricordarsi . Fissato arbitrariamente appartenente , la matrice ottenuta da sostituendo alla sua -esima riga la -pla:

dove l'elemento compare nella -esima posizione. Da:

applicando iterativamente le proprietà 4' e 4" del determinante alla -esima riga di , si ottiene:

Dopo di che, non resta che provare che al variare di in

A tale scopo sia la matrice ottenuta da scambiando consecutivamente ogni riga, dalla riga alla riga , con la sua successiva fino ad ottenere una matrice con un nel posto individuato dalla -esima riga e dalla -esima colonna, tutti gli altri elementi di tale riga siano e tutti gli altri elementi della -esima colonna siano quelli di . in questo modo si è isolato il minore .

Essendo tale minore il minore complementare di in . Si osservi ora che se indica il sottogruppo di costituito dalla permutazione appartenente a tale che , l'applicazione che associa ad ogni appartenente a la sua restrizione a definisce una biiezione tra e in cui corrispondenti permutazioni hanno lo stesso segno. Pertanto, posto , poiché e, per ogni s appartenente a , si ottiene:

Poiché è ottenuta da con scambi di riga ed scambi di colonna, dalla proprietà 2 del determinante si ha:

Come volevasi dimostrare.

Esempio di calcolo[modifica | modifica wikitesto]

Si voglia calcolare il determinante della seguente matrice quadrata del terzo ordine:

  • Si inizia scegliendo arbitrariamente una riga o una colonna della matrice rispetto alla quale sviluppare la formula. Ammettiamo di aver scelto la prima riga: ;
  • Si moltiplica ogni numero della riga scelta per il rispettivo complemento algebrico. Quindi:
  • Il determinante della matrice iniziale è dato dalla somma dei precedenti prodotti e vale: .
  • Il risultato ottenuto è indipendente dalla riga o colonna inizialmente scelta. Utilizzando ad esempio l'ultima riga della matrice, che contenendo uno zero aiuta a semplificare ulteriormente i calcoli, si ottiene infatti:

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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