Forma canonica di Jordan

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Nota disambigua.svg Disambiguazione – "decomposizione di Jordan" rimanda qui. Se stai cercando la decomposizione di una misura con segno, vedi Teorema di decomposizione di Hahn.
Esempio di matrice in forma canonica di Jordan. I blocchi evidenziati in grigio sono detti blocchi di Jordan.

In matematica, più precisamente in algebra lineare, la forma canonica di Jordan di una matrice quadrata A è una matrice triangolare J simile ad A che ha una struttura il più possibile vicina ad una matrice diagonale. La matrice è diagonale se e solo se A è diagonalizzabile, altrimenti è divisa in blocchi detti blocchi di Jordan.[1]

La forma canonica caratterizza univocamente la classe di similitudine di una matrice. In altre parole, due matrici sono simili se e solo se hanno la stessa forma di Jordan (a meno di permutazione dei blocchi).

Il nome è dovuto al matematico francese Camille Jordan che si è occupato di matrici diagonalizzabili.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Un blocco di Jordan di ordine k è una matrice triangolare superiore con k righe costituita nel seguente modo:

in cui ogni elemento della diagonale è uguale a ed in ogni posizione si trova un 1. Il suo polinomio caratteristico è , e quindi ha come unico autovalore con la molteplicità algebrica k. D'altra parte, l'autospazio relativo a è:

avente, quindi, dimensione 1. Dal teorema di diagonalizzabilità segue che se il blocco di Jordan non è diagonalizzabile.

Una matrice in forma canonica di Jordan o matrice di Jordan è una matrice a blocchi del tipo:

dove è un blocco di Jordan con autovalore . Ogni blocco di Jordan contribuisce con un autospazio unidimensionale relativo a .

La molteplicità geometrica di , definita come la dimensione del relativo autospazio, è pari al numero di blocchi con autovalore . D'altra parte, la molteplicità algebrica di , definita come la molteplicità della radice nel polinomio caratteristico di , è pari alla somma degli ordini di tutti i blocchi con autovalore .

In questo contesto, il teorema di diagonalizzabilità asserisce, quindi, che è diagonalizzabile se e solo se le molteplicità algebriche e geometriche coincidono, ovvero se e solo se i blocchi hanno tutti ordine pari ad 1: in altre parole, è diagonalizzabile se e solo se è già diagonale.

Teorema di Jordan[modifica | modifica wikitesto]

Si dice che una matrice quadrata con elementi in un campo ha "tutti gli autovalori nel campo" se la somma delle molteplicità algebriche dei suoi autovalori è pari al numero di righe di . Questo equivale a dire che il suo polinomio caratteristico ha "tutte le radici nel campo", cioè che si spezza come prodotto di polinomi di primo grado. Questo è sempre vero se è algebricamente chiuso, ad esempio se è il campo dei numeri complessi.

Il teorema di Jordan asserisce che ogni matrice ha una "forma canonica di Jordan", e che due matrici sono simili se e solo se hanno la stessa forma canonica:

  • Sia una matrice quadrata con elementi in avente tutti gli autovalori nel campo. Allora è simile ad una matrice di Jordan.
  • Due matrici di Jordan e sono simili se e solo se si ottengono l'una dall'altra permutando i blocchi.

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

Si vuole calcolare la forma canonica di Jordan della matrice

Il suo polinomio caratteristico è , quindi i suoi autovalori sono 4, 4, 2 e 1. Si ricorda che, se si indica con e le molteplicità algebrica e geometrica di un autovalore , valgono sempre le seguenti disuguaglianze:

Quindi in questo caso le molteplicità algebriche e geometriche degli autovalori 2 e 1 sono tutte 1, e l'unica grandezza da trovare è la molteplicità geometrica di 4, che può essere 1 o 2. La molteplicità geometrica di un autovalore indica il numero di blocchi di jordan presenti relativi a quell'autovalore. Si vede che:

Segue quindi che non è diagonalizzabile, e l'autovalore 4 ha un solo blocco di Jordan. I dati in possesso sono sufficienti a determinare la matrice di Jordan, che è la seguente:

Polinomio minimo[modifica | modifica wikitesto]

Il polinomio minimo di una matrice è calcolabile a partire dalla sua forma di Jordan . Infatti si decompone come:

dove sono gli autovalori (distinti, cioè elencati senza molteplicità) di , e è l'ordine del blocco di Jordan più grande fra tutti quelli relativi all'autovalore .

Ad esempio, la seguente matrice:

ha come polinomio caratteristico e come polinomio minimo.

Usando il teorema di Jordan e la decomposizione del polinomio minimo enunciata, si ha che le due matrici seguenti hanno gli stessi polinomi caratteristici (e quindi anche lo stesso determinante, la stessa traccia e gli stessi autovalori), gli stessi polinomi minimi, ma non sono simili:

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Jordan Canonical Form article at mathworld.wolfram.com

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) Daniel T. Finkbeiner II, Introduction to Matrices and Linear Transformations, Third Edition, Freeman, 1978.
  • (EN) Gene H. Golub and Charles F. Van Loan, Matrix Computations (3rd ed.), Johns Hopkins University Press, Baltimore, 1996.
  • (EN) Gene H. Golub and J. H. Wilkinson, Ill-conditioned eigensystems and the computation of the Jordan normal form, SIAM Review, vol. 18, nr. 4, pp. 578–619, 1976.
  • (EN) Shafarevich, Igor R., Remizov, Alexey O. Linear Algebra and Geometry, Springer, 2012, ISBN 978-3-642-30993-9
  • (EN) N. Dunford and J.T. Schwartz, Linear Operators, Part I: General Theory, Interscience, 1958.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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