Teorema di Binet

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In algebra lineare, il teorema di Binet è un teorema che collega il prodotto fra matrici quadrate con il determinante.

Il teorema viene generalizzato dalla formula di Cauchy-Binet.

Il teorema[modifica | modifica wikitesto]

Siano e due matrici quadrate con lo stesso numero di righe, a valori in un campo .

Il determinante del prodotto tra e è il prodotto del determinante di per il determinante di :

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Si ricordi che il determinante può essere considerato come una forma multilineare alternante sulle colonne di una matrice quadrata ; l'unica per cui dove è la base canonica di . Il teorema di Binet segue dal fatto che le forme multilineari alternanti costituiscono uno spazio vettoriale unidimensionale, e che la funzione è una forma multilineare alternante.

Lemma 1[modifica | modifica wikitesto]

Tutte le forme multilineari alternanti sono multiple del determinante.

Dimostrazione del lemma 1[modifica | modifica wikitesto]

Sia una forma multilineare e alternante. Sia la base canonica di . Dati i vettori tali che ogni ha coordinate canoniche . Per multilinearità vale:

Poiché la forma è anche alternante, quando non sono tutti distinti, si ha che . Possiamo quindi riscrivere l'equazione considerando soltanto i casi in cui sono distinti, ossia sono una permutazione di . Indicando con il gruppo simmetrico di abbiamo:

Considerando che ogni forma alternante è anche antisimmetrica si possono riordinare gli argomenti di nel seguente modo:

dove è la matrice che ha per colonne le coordinate canoniche di . Dunque

Il risultato dell'applicazione della forma multilineare alternante alla base canonica determina la forma in modo univoco.

Dimostrazione del teorema[modifica | modifica wikitesto]

Sia . Occorre dimostrare che è una forma multilineare alternante sulle colonne di .

Per le regole della moltiplicazione tra matrici, siano le colonne di , allora la colonna di è uguale a e, considerando e come forme sulle colonne si può scrivere

Quindi:

  • è multilineare, infatti siano , , vale
  • è alternante, infatti

Quindi

Applicazioni[modifica | modifica wikitesto]

  • Una matrice è invertibile se e solo se ha determinante diverso da zero. Infatti:
    • se è invertibile allora esiste tale che , e quindi , e quindi non è zero.
    • se non è zero l'algoritmo di Gauss permette di trovare un'inversa.
  • Se è invertibile, allora:
  • Il determinante di un endomorfismo (dove è uno spazio vettoriale di dimensione finita), definito come il determinante di una matrice associata rispetto ad una base , in realtà non dipende dalla scelta di : è quindi una grandezza intrinseca di , che indichiamo con .
  • Il determinante di un'isometria ha norma 1. Quindi se il determinante di una isometria è 1 oppure -1.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) Joel G. Broida & S. Gill Williamson (1989) A Comprehensive Introduction to Linear Algebra, §4.6 Cauchy-Binet theorems, pp 208–14, Addison-Wesley ISBN 0-201-50065-5.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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