Teorema di Binet

In algebra lineare, il teorema di Binet è un teorema che collega il prodotto fra matrici quadrate con il determinante.

Il teorema viene generalizzato dalla formula di Cauchy-Binet.

Il teorema

Siano $A$ e $B$ due matrici quadrate con lo stesso numero di righe, a valori in un campo $K$.

Il determinante del prodotto tra $A$ e $B$ è il prodotto del determinante di $A$ per il determinante di $B$:

$\det(A\cdot B)=\det A\cdot \det B.$

Dimostrazione

Si ricordi che il determinante può essere considerato come una forma multilineare alternante $\det(c_{1},\ldots ,c_{n})$ sulle colonne di una matrice quadrata $n\times n$; l'unica per cui $\det(e_{1},\ldots ,e_{n})=1,$ dove $e_{1},\ldots ,e_{n}$ è la base canonica di $K^{n}$. Il teorema di Binet segue dal fatto che le forme multilineari alternanti costituiscono uno spazio vettoriale unidimensionale, e che la funzione $\phi (X)=\det(A\cdot X)$ è una forma multilineare alternante.

Lemma 1

Tutte le forme multilineari alternanti sono multiple del determinante.

Dimostrazione del lemma 1

Sia $f\colon K^{n}\times \dots \times K^{n}\to K$ una forma multilineare e alternante. Sia $e_{1},\ldots ,e_{n}$ la base canonica di $K^{n}$. Dati i vettori $v_{1},\ldots ,v_{n}\in K^{n}$ tali che ogni $v_{j}$ ha coordinate canoniche $c_{j,1},\ldots ,c_{j,n}$. Per multilinearità vale:

$f(v_{1},\ldots ,v_{n})=f\left(\sum _{j_{1}=1}^{n}c_{1,j_{1}}e_{j_{1}},\ldots ,\sum _{j_{n}=1}^{n}c_{n,j_{n}}e_{j_{n}}\right)=\sum _{j_{1}=1}^{n}\ldots \sum _{j_{n}=1}^{n}\left(\prod _{k=1}^{n}c_{k,j_{k}}\right)f(e_{j_{1}},\ldots ,e_{j_{n}}).$

Poiché la forma è anche alternante, quando $j_{1},\ldots ,j_{n}$ non sono tutti distinti, si ha che $f(e_{j_{1}},\ldots ,e_{j_{n}})=0$. Possiamo quindi riscrivere l'equazione considerando soltanto i casi in cui $j_{1},\ldots ,j_{n}$ sono distinti, ossia sono una permutazione di $1,\ldots ,n$. Indicando con $S_{n}$ il gruppo simmetrico di $1,\ldots ,n$ abbiamo:

$f(v_{1},\ldots ,v_{n})=\sum _{\sigma \in S_{n}}\left(\prod _{k=1}^{n}c_{k,\sigma (k)}\right)f(e_{\sigma (1)},\ldots ,e_{\sigma (n)}).$

Considerando che ogni forma alternante è anche antisimmetrica si possono riordinare gli argomenti di $f$ nel seguente modo:

$f(v_{1},\ldots ,v_{n})=\sum _{\sigma \in S_{n}}\left(\prod _{k=1}^{n}c_{k,\sigma (k)}\right)\operatorname {sgn}(\sigma )f(e_{1},\ldots ,e_{n})=f(e_{1},\ldots ,e_{n})\det(C),$

dove $C$ è la matrice che ha per colonne le coordinate canoniche di $v_{1},\ldots ,v_{n}$. Dunque

$f(v_{1},\ldots ,v_{n})=f(e_{1},\ldots ,e_{n})\det(v_{1},\ldots ,v_{n}).$

Il risultato dell'applicazione della forma multilineare alternante alla base canonica determina la forma in modo univoco.

Dimostrazione del teorema

Sia $\phi (X)=\det(A\cdot X)$. Occorre dimostrare che è una forma multilineare alternante sulle colonne di $X$.

Per le regole della moltiplicazione tra matrici, siano $x_{1},\ldots ,x_{n}$ le colonne di $X$, allora la colonna $j$ di $A\cdot X$ è uguale a $Ax_{j}$ e, considerando $\phi$ e $\det$ come forme sulle colonne si può scrivere $\phi (x_{1},\ldots ,x_{n})=\det(Ax_{1},\ldots ,Ax_{n}).$

Quindi:

• $\phi$ è multilineare, infatti siano $\lambda \in K$, $a,b\in K^{n}$, vale

$\phi (\ldots ,\lambda a+b,\ldots )=\det(\ldots ,A(\lambda a+b),\ldots )=\lambda \det(\ldots ,Aa,\ldots )+\det(\ldots ,Ab,\ldots )=\lambda \phi (\ldots ,a,\ldots )+\phi (\ldots ,b,\ldots ).$

• $\phi$ è alternante, infatti $\phi (\ldots ,a,\ldots ,a,\ldots )=\det(\ldots ,Aa,\ldots ,Aa,\ldots )=0.$

Quindi

$\det(A\cdot B)=\phi (B)=\phi (I_{n})\det(B)=\det(A\cdot I_{n})\cdot \det(B)=\det(A)\cdot \det(B).$

Applicazioni

• Una matrice è invertibile se e solo se ha determinante diverso da zero. Infatti:
  • se $A$ è invertibile allora esiste $B$ tale che $AB=I$, e quindi $\det(A)*\det(B)=\det(I)=1$, e quindi $\det(A)$ non è zero.
  • se $\det(A)$ non è zero l'algoritmo di Gauss permette di trovare un'inversa.
• Se $A$ è invertibile, allora:

$\det(A^{-1})=(\det A)^{-1}$

• Il determinante è invariante per similitudine: infatti

$\det(MAM^{-1})=\det M\cdot \det A\cdot \det M^{-1}=\det A$

• Il determinante di un endomorfismo $f:V\to V$ (dove $V$ è uno spazio vettoriale di dimensione finita), definito come il determinante di una matrice associata rispetto ad una base $B$, in realtà non dipende dalla scelta di $B$: è quindi una grandezza intrinseca di $f$, che indichiamo con $\det(f)$.
• Il determinante di un'isometria $f:V\to V$ ha norma 1. Quindi se $K=\mathbb {R}$ il determinante di una isometria è 1 oppure -1.

Bibliografia

• (EN) Joel G. Broida & S. Gill Williamson (1989) A Comprehensive Introduction to Linear Algebra, §4.6 Cauchy-Binet theorems, pp 208–14, Addison-Wesley ISBN 0-201-50065-5.

Voci correlate

• Formula di Cauchy-Binet
• Matrice di trasformazione
• Similitudine fra matrici