Teorema di Binet

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In algebra lineare, il teorema di Binet è un teorema che collega il prodotto fra matrici quadrate con il determinante.

Il teorema viene generalizzato dalla formula di Cauchy-Binet.

Il teorema[modifica | modifica wikitesto]

Siano e due matrici quadrate con lo stesso numero di righe, a valori in un campo .

Il determinante del prodotto tra e è il prodotto del determinante di per il determinante di :

Applicazioni[modifica | modifica wikitesto]

  • Una matrice è invertibile se e solo se ha determinante diverso da zero. Infatti:
    • se è invertibile allora esiste tale che , e quindi , e quindi non è zero.
    • se non è zero l'algoritmo di Gauss permette di trovare un'inversa.
  • Se è invertibile, allora:
  • Il determinante di un endomorfismo (dove è uno spazio vettoriale di dimensione finita), definito come il determinante di una matrice associata rispetto ad una base , in realtà non dipende dalla scelta di : è quindi una grandezza intrinseca di , che indichiamo con .
  • Il determinante di un'isometria ha norma 1. Quindi se il determinante di una isometria è 1 oppure -1.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) Joel G. Broida & S. Gill Williamson (1989) A Comprehensive Introduction to Linear Algebra, §4.6 Cauchy-Binet theorem, pp 208–14, Addison-Wesley ISBN 0-201-50065-5.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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