Formula di Cauchy-Binet

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In matematica, e più precisamente in algebra lineare, la formula di Cauchy-Binet è un risultato che generalizza il teorema di Binet, consentendo di calcolare il determinante del prodotto di due matrici tali per cui il numero di colonne della prima è uguale al numero di righe della seconda e il numero di colonne della seconda è uguale al numero di righe della prima.

La formula è valida per matrici con valori in un qualsiasi anello commutativo.

Enunciato[modifica | modifica wikitesto]

Siano e due matrici rispettivamente di tipo e . Il loro prodotto è quindi una matrice quadrata .

La formula di Cauchy-Binet esprime il determinante di come:

dove varia fra i sottoinsiemi con elementi dell'insieme . Per ogni , la matrice è il minore ottenuto da prendendo solo le colonne i cui indici appartengono a . Analogamente, è il minore ottenuto da prendendo solo le righe i cui indici appartengono a .

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

  • Nel caso in cui , la somma si effettua su un solo termine e la formula coincide con l'enunciato del teorema di Binet.
  • Se , l'insieme è vuoto ed il determinante è quindi nullo.
  • Se , l'insieme consta di elementi (il numero è descritto usando un coefficiente binomiale).

Interpretazione nello spazio euclideo[modifica | modifica wikitesto]

Se è una matrice reale , il determinante di è uguale al quadrato del volume -dimensionale del parallelotopo in generato dalle colonne di .

La formula di Binet-Cauchy descrive quindi questa quantità come la somma dei quadrati dei volumi delle proiezioni ortogonali sui vari sottospazi coordinati di dimensione . Nel caso , queste proiezioni ortogonali sono segmenti, e si ritrova una formulazione del teorema di Pitagora.

Relazione con il delta di Kronecker generalizzato[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: delta di Kronecker.

La formula di Cauchy–Binet è equivalente alla relazione:

dove:

Si ha inoltre:

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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