Matrice simmetrica

In algebra lineare, una matrice simmetrica è una matrice quadrata che ha la proprietà di essere la trasposta di se stessa.

Definizione

Detta $A^{T}$ la matrice trasposta di $A$, una matrice $A$ è simmetrica quando:

$A^{T}=A$

o equivalentemente quando i suoi elementi $a_{ij}$ soddisfano:

$a_{ij}=a_{ji}\qquad \forall i\ \forall j$

Per matrici a coefficienti reali i concetti di matrice simmetrica e di matrice hermitiana (una matrice uguale alla propria trasposta coniugata) sono equivalenti.

Proprietà

Uno dei teoremi basilari riguardanti tali matrici è il teorema spettrale in dimensione finita, il quale afferma che ogni matrice simmetrica a coefficienti reali può essere diagonalizzata tramite una matrice ortogonale.

Una matrice $M$, definita su un campo a caratteristica diversa da 2 (o più in genere su un anello nel quale l'elemento 2 è invertibile), può sempre essere scritta come somma di una matrice simmetrica $S$ e di una matrice antisimmetrica $A$. Supponendo infatti di poter scrivere:

$M=S+A$

per definizione di matrice simmetrica e di matrice antisimmetrica si ha:

$M^{\top }=S-A$

quindi le matrici $S$ e $A$ sono univocamente determinate:

$S={\frac {(M+M^{\top })}{2}}\qquad A={\frac {(M-M^{\top })}{2}}$

Su un anello nel quale la divisione per 2 non è sempre possibile questo ragionamento non si può applicare, ed esistono sempre dei controesempi. Ad esempio, una matrice della forma:

${\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}$

non si può scrivere come somma di una matrice simmetrica e di una matrice antisimmetrica né sull'anello degli interi $\mathbb {Z}$, né sul campo finito $F_{2}$.

Esempi

I coefficienti di una matrice simmetrica sono simmetrici rispetto alla diagonale principale (che va dall'angolo in alto a sinistra a quello in basso a destra). Ad esempio:

${\begin{bmatrix}1&2&3\\2&0&5\\3&5&6\end{bmatrix}}$

Ogni matrice diagonale è simmetrica, in quanto tutti i coefficienti all'esterno della diagonale principale sono zero.

Il prodotto $A^{T}A$, tra una qualsiasi matrice $A$ e la sua trasposta, restituisce sempre una matrice simmetrica.

Esempi di particolari matrici simmetriche sono la matrice di Hankel, la matrice di Gram, la matrice di Hilbert e la matrice di Filbert. Vi sono anche la matrice di Toeplitz, la matrice identità, e la matrice nulla.

Bibliografia

• (EN) F.R. Gantmakher, The theory of matrices , 1 , Chelsea, reprint (1959–1960) pp. Vol. 1, Chapt. IX; Vol. 2, Chapt. XI
• (EN) W. Noll, Finite dimensional spaces , M. Nijhoff (1987) pp. Sect. 2.7

Voci correlate

• Glossario sulle matrici
• Matrice antisimmetrica
• Matrice hermitiana
• Matrice antihermitiana
• Matrice normale
• Matrice trasposta
• Operatore aggiunto
• Operatore autoaggiunto
• Teorema di Schur-Horn
• Quoziente di Rayleigh

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Matrice simmetrica, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Matrice simmetrica, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.
• Visualizing Hermitian Matrix as An Ellipse with Dr. Geo, by Chao-Kuei Hung from Shu-Te University, gives a more geometric explanation.